DESIGUALDADES III

EEjemplos:

a) $x-\frac{2}{3}>2x+\frac{4}{3}$

Solución.

$x-2x>\frac{4}{3}+\frac{2}{3}$

$-x>\frac{6}{3}$

$-x>2$

$ \therefore$     $x<-2$.

b)  $x+\frac{1}{2}<2+\frac{x}{4}$.

Solución.

$x-\frac{x}{4}<2-\frac{1}{2}$

$\frac{3x}{4}<\frac{3}{2}$

$x<\frac{4}{2}$

$\therefore$   $x<2$.

c) $\frac{x}{3}-2<\frac{5x+9}{2}$.

Solución.

$2\left(\frac{x}{3}-2\right)<5x+9$

$\frac{2x}{3}-4<5x+9$

$\frac{2x}{3}-5x<9+4$

 $\frac{-13x}{3}<13$

$\therefore$    $x>-3$.

DESIGUALDADES II.

C) El sentido de una desigualdad  se altera si ambos miembros se multiplican por o se dividen entre un mismo número negativo.

Demostración:

C1) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.

Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=P\cdot q$,

de donde $a\cdot q-b\cdot q=P\cdot q$.

Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número negativo.

Es decir $a\cdot q-b\cdot q= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $aq<bq$.

$\therefore$  si  $a>b$  y  $q<0$, entonces $aq<bq$.


 C2) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.

Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{P}{q}$,

de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{P}{q}$.

Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{P}{q}$ es un número negativo.

Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.

$\therefore$  si  $a>b$  y  $q<0$, entonces$\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.



C3) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.

Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=N\cdot q$,

de donde $a\cdot q-b\cdot q=N\cdot q$.

Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número positivo.

Es decir $a\cdot q-b\cdot q= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $aq>bq$.

$\therefore$  si  $a<b$  y  $q<0$, entonces $aq>bq$.

C4) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.

Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{N}{q}$,

de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{N}{q}$.

Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{N}{q}$ es un número positivo.

Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.

$\therefore$  si  $a<b$  y  $q<0$, entonces$\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.

Ejemplos:

a)  $3x-1>6x+8$

Solución:

$3x-6x>8+1$

$-3x>9$.

Dividiendo ambos miembros entre $-3$ y aplicando las propiedades que acabamos de demostrar, tenemos,

$\frac{-3x}{-3}<\frac{9}{-3}$.

$\therefore x<-3$.

b)$ -7-12x<5x+10$

Solución:

$-12x-5x<10+7$,

$-17x<17$,

Dividiendo ambos miembros entre $-17$, tenemos

$x>\frac{17}{-17}.$

$\therefore x>-1$.

c)$\frac{2x-4}{-3}>6x+1$

Solución:

$ \left(\frac{2x-4}{-3}\right)(-3)<\left(6x+1\right)(-3),$

$2x-4<-18x-3$,

$20x<1$,

$\therefore x<\frac{1}{20}.$

DESIGUALDADES I.

Ya que no tiene sentido decir que un número complejo es mayor o menor que otro, en el tema de las desigualdades únicamente vamos a trabajar con números reales, es decir, sólo números del conjunto $\mathbb{R}$.

• Definición. Se dice que el número $a$  es mayor que el número $b$, lo que se escribe $a>b$, si la diferencia $a-b$ es un número positivo.

     Es decir: Si $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.                                                                          $\left(a>b \rightarrow a-b=P\right)$.

Del mismo modo, vemos que: si $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo, entonces  $a>b$.

                                             $\left(a-b=P \rightarrow a>b\right)$.

Si de antemano establecemos que $P$ representa cualquier número positivo, el razonamiento anterior lo podemos resumir de la siguiente manera:

      

                                    $a>b \leftrightarrow a-b=P$.                                                                                            

      

• Definición. Se dice que el número $a$  es menor que el número $b$, lo que se escribe $a<b$, si la diferencia $a-b$ es un número negativo.

     Es decir: Si $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.                                                                          $\left(a<b \rightarrow a-b=N\right)$.

Del mismo modo, vemos que: si $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo, entonces  $a<b$.

                                             $\left(a-b=N \rightarrow a<b\right)$.

Si de antemano establecemos que $N$ representa cualquier número negativo, el razonamiento anterior lo podemos resumir de la siguiente manera:

      

                                    $a<b \leftrightarrow a-b=N$.      

Ejemplos:

a) $5>-7$ porque $5-(-7)=5+7=+12$,

b) $-8>-10$ porque $-8-(-10)=-8+10=+2$,

c) $-4<-1$  porque $-4-(-1)=-4+1=-3$,

d) $5<11$  porque $5-11=-6$.

Hay dos tipos de desigualdades: desigualdades absolutas y las desigualdades condicionales o inecuaciones.

Una desigualdad absoluta o incondicional es aquella que tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables para los que están definidos sus miembros. Ejemplos: a) $2>-3$  y  b) $-x^2<0$.

Una desigualdad condicional o inecuación es aquella que tiene el mismo sentido solo para ciertos valores de las variables, tomados entre los valores para los que sus miembros están definidos.

• Propiedades de las desigualdades.

    A) El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o se resta a ambos miembros la misma cantidad.

Demostración:

A1) Sea  $a>b$.
Entonces  $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.
Si $c \in \mathbb{R}$, tenemos  $a+c-b-c=P$,

         de donde $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=P$.

                                    $\therefore a+c>b+c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da positivo.

De la misma manera  vemos que
                                $a-c-b+c=P$,

de donde $\left(a-c\right)-\left(b-c\right)=P$.

                                    $\therefore a-c>b-c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da positivo.

A2) Sea  $a<b$.
Entonces  $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.
Si $c \in \mathbb{R}$, tenemos  $a+c-b-c=N$,

  de donde $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=N$.

                                    $\therefore a+c<b+c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da negativo.

De la misma manera  vemos que
                                $a-c-b+c=N$,

de donde $\left(a-c\right)-\left(b-c\right)=N$.

                                    $\therefore a-c<b-c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da negativo.

Esta propiedad nos permite resolver algunos problemas sencillos .

Ejemplos:

a) $x+4>2$

Solución:

Restando $4$ a ambos miembros de la desigualdad obtenemos,

$x+4-4>2-4$

$\therefore x>-2$.


b) $x-1<-6$

Solución:

Sumando $1$ en ambos miembros de la desigualdad nos queda,

$x-1+1<-6+1$

$\therefore x<-5$.

Nótese que la aplicación de esta propiedad es lo mismo que decir "lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando".

Es decir:

a) $x+4>2$

Solución.

Como queremos despejar la $x$, el $4$ que está sumando lo pasamos restando, y obtenemos

$x>2-4$

$\therefore x>-2$.


b) $x-1<-6$

Solución.

Como queremos despejar la $x$, el $1$ que está restando lo pasamos sumando, y obtenemos

$x<-6+1$

$\therefore x<-5$.


B) El sentido de una desigualdad no se altera si ambos miembros se multiplican por o se dividen entre un mismo número positivo.

Demostración.

B1) Sean $a>b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=P1$, donde $P1$ es un número positivo.

Si multiplicamos la igualdad anterior por $c>0$,

     tenemos        $\left(a-b\right)\cdot c=P1\cdot c$

     de donde     $ac-bc=P1\cdot c$ .

Como $P1$ y $c$ son positivos, entonces $P1\cdot c=P$ es positivo.

    Nos queda       $ac-bc=P$ .

            $\therefore ac>bc$.


B2) Sean $a>b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=P1$, donde $P1$ es un número positivo.

Si dividimos la igualdad anterior entre $c>0$,

     tenemos        $\frac{a-b}{ c}=\frac{P1}{c}$

     de donde     $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{P1}{c}$ .

Como $P1$ y $c$ son positivos, entonces $\frac{P1}{c}=P$ es positivo.

    Nos queda       $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=P$ .

            $\therefore \frac{a}{c}>\frac{b}{c}$.


B3) Sean $a<b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=N1$, donde $N1$ es un número negativo.

Si multiplicamos la igualdad anterior por $c>0$,

     tenemos        $\left(a-b\right)\cdot c=N1\cdot c$

     de donde     $ac-bc=N1\cdot c$ .

Como $N1$ es negativo y $c$ es positivo, entonces $N1\cdot c=N$ es negativo.

    Nos queda       $ac-bc=N$ .

            $\therefore ac<bc$.

B4) Sean $a<b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=N1$, donde $N1$ es un número negativo.

Si dividimos la igualdad anterior entre $c>0$,

     tenemos        $\frac{a-b}{ c}=\frac{N1}{c}$

     de donde     $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{N1}{c}$ .

Como $N1$ es negativo y $c$ es positivo , entonces $\frac{P1}{c}=N$ es negativo.

    Nos queda       $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=N$ .

            $\therefore \frac{a}{c}<\frac{b}{c}$.

Ejemplos:

a) $\frac{x}{2}>-1$.

Solución.

Multiplicando ambos miembros por $2$, obtenemos

$\frac{x}{2}\cdot 2>-1\cdot 2$

$\therefore x>-2$.

b) $\frac{x}{8}<\frac{5}{8}$.

Solución.

Multiplicando ambos miembros por $8$, obtenemos

$\frac{x}{8}\cdot 8<\frac{5}{8}\cdot 8$

$\therefore x<5$.

c)  $3x<-6$

      Dividiendo ambos miembros entre $3$, obtenemos

$\frac{3x}{3}<\frac{-6}{3}$

$\therefore x<-2$.


  

d)  $5x>-4$

      Dividiendo ambos miembros entre $5$, obtenemos

$\frac{5x}{5}>\frac{-4}{5}$

$\therefore x>\frac{-4}{5}$.

Hay que notar que esta propiedad B) también se puede interpretar como "lo que está multiplicando a todos los términos de un miembro de una desigualdad (si es positivo) pasa dividiendo a todos los términos del otro miembro de la desigualdad y lo que está dividiendo a todos los términos de un  miembro de una desigualdad (si es positivo) pasa multiplicando a todos los términos del otro miembro de dicha desigualdad".

Ejemplos:

a) $\frac{x}{2}>-1$.

Solución.

Como el $2$ está dividiendo en el primer miembro, lo pasamos multiplicando al segundo.

Entonces

$x>-1\cdot2$,

$\therefore x>-2$.

b) $\frac{x}{8}<\frac{5}{8}$.

Solución.

Como el $8$ está dividiendo en el primer miembro, lo pasamos multiplicando al segundo y obtenemos

$x<\frac{5}{8}\cdot 8$

$\therefore x<5$.

c)  $3x<-6$

Solución.

      Como el $3$ está multiplicando en el primer miembro, lo pasamos dividiendo al segundo y obtenemos

$x<\frac{-6}{3}$

$\therefore x<-2$.


  

d)  $5x>-4$

     Como el $5$ está multiplicando en el primer miembro, lo pasamos dividiendo al segundo y obtenemos

$x>\frac{-4}{5}$

$\therefore x>\frac{-4}{5}$.