Ejemplo de inducción matemática en trigonometría .

 Nota.Por cuestiones de tipografía, la función $sen\theta$, va a  aparecer como   $ \sin\theta$ 


  Ejercicio 11. Demostrar:   $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin n\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(n+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} n\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$  

Demostración:

Para:
         $n=1$, tenemos
                                 $\sin 1\cdot \theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\left(1+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} 1       \cdot \theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$

                                   $\sin 1\cdot \theta = \sin\frac{1}{2}\left(2\right)\theta$

                                  $\sin \theta=\sin \theta$     $\checkmark$

       Aunque no se pide revisamos para $n=2$,

                               $\sin 1\cdot \theta+\sin 2\cdot \theta = \sin\theta+\sin 2\theta$
                                                               $ =\sin \theta+2\sin\theta \cos\theta$
                                                               $=\left(1+2\cos \theta\right)\sin \theta$
                                                              $=\left(3-2+2\cos \theta\right)\sin \theta$
                                                              $=\left[3-2\left(1-\cos \theta\right)\right]\sin \theta$
                                                              $=\left[3-4\frac{\left(1-\cos \theta\right)}{2}\right]\sin \theta$
                                                              $=\left[3-4\sin^2\frac{\theta}{2}\right]\sin \theta$

                                                            $ =\frac{\sin\frac{\theta}{2}\left[3-4\sin^2\frac{\theta}{2}\right]\sin \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$

                                                           $ =\frac{\left(3\sin\frac{\theta}{2}-4\sin^3\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$


                                                          $ =\frac{\sin\frac{3\theta}{2} \sin \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}.$         $\checkmark$


HI       $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}.$                            $\checkmark$


TI       $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k^*\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k^*+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k^*\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}.$


Prueba:
            $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k^*\theta=\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k\theta+\sin k^*\theta$

                                                                             $= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+\sin\left( k+1\right)\theta$
                        
    $= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+\sin2\left(\frac{1}{2}\left( k+1\right)\right)\theta$

    $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+2\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\cos\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta$

 $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta+2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\cos\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\left(k+1\right)\theta}{2} \right]$
 $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos {\left(\frac{k\theta}{2}+\frac{\theta}{2}\right)} \right]$                                        $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos \frac{k\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{k\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right)\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{k\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{k\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right]$
 

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta\left(1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\right) +\cos \frac{k\theta}{2}2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta\cos\theta +\cos \frac{k\theta}{2}\sin\theta\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{k\theta}{2}+\theta\right)$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{k\theta+2\theta}{2}\right)$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left(\frac{k\theta+2\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left(\frac{\left(k+2\right)\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left[\frac{\left(\left(k+1\right)+1\right)\theta}{2}\right]}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}k^*\theta\sin\left[\frac{\left(k^*+1\right)\theta}{2}\right]}{\sin\frac{\theta}{2}}.$   $\checkmark$
 

Ejercicios de inducción matemática III

En esta entrada se revisan las leyes de los exponentes para números naturales, que en esencia son las mismas que se aplican a los números reales. Dominar estas leyes proporciona una herramienta algebraica inigualable para estudios superiores. Todos los números y todas las variables que aparecen en esta entrada pertenecen al conjunto de los números naturales  $\mathbb{N}=\{1,2,3,...,\}.$

Definición:         $m^1=m$,        $m^{p+1}=m^p\cdot m$


Ejercicio 8.  Demostrar:       $m^p\cdot m^q=m^{p+q}$.

Demostración: Sea  $P(q):m^p\cdot m^q.$

Entonces:    $P(1): m^p\cdot m^1=m^p\cdot m=m^{p+1}$,               $\checkmark$

HI                                             $m^p\cdot m^k=m^{p+k}$,                                        $\checkmark$

TI                                    $m^p\cdot m^{k^*}=m^{p+k^*}.$
Prueba:         $m^p\cdot m^{k^*}=m^p \cdot m^{k+1}$
                                                             $=m^p \cdot \left(m^k \cdot m^1\right)$
                                                             $=\left(m^p \cdot m^k\right)\cdot m^1$
                                                             $=\left(m^{p+k}\right)\cdot m^1$
                                                             $=m^{\left(p+k\right)+1}$
                                                             $=m^{p+k^*}$.                       $\checkmark$


Ejercicio 9.   Demostrar:              $\left(m^p\right)^q=m^{p\cdot q}$.

Demostración: Sea                         $P(q): \left(m^p\right)^q$.
Entonces:                                     $P(1):\left(m^p\right)^1=m^p=m^{p\cdot 1}.$             $\checkmark$

HI                                               $P(k):\left(m^p\right)^k=m^{p\cdot k}$.                              $\checkmark$

TI                                              $P(k^*):\left(m^p\right)^{k^*}=m^{p\cdot k^*}$.
Prueba:                                      $\left(m^p\right)^{k^*}=\left(m^p\right)^{k+1}$
                                                              $=\left(m^p\right)^k\cdot (m^p)$
                                                              $=m^{p\cdot k}\cdot m^p$
                                                              $=m^{p\cdot k+p}$
                                                              $=m^{p\cdot k^*}.$                               $\checkmark$


Ejercicio 10. Demostrar:     $(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$

Demostración: Sea     $P(p):(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$

Entonces:                 $P(1):(m \cdot n )^1=m \cdot n=m^1 \cdot n^1$               $\checkmark$

HI                          $P(k):(m \cdot n )^k=m^k \cdot n^k$                              $\checkmark$

TI                          $P(k^*):(m \cdot n )^{k^*}=m^{k^*} \cdot n^{k^*}$

Prueba:                  $(m \cdot n )^{k^*}=(m \cdot n )^{k+1}$
                                             $=(m \cdot n )^k \cdot (m \cdot n)^1$
                                             $=(m^k \cdot n ^k) \cdot (m^1 \cdot n^1)$
                                             $=(m^k \cdot m ^1) \cdot (n^k \cdot n^1)$
                                             $=m^{k +1} \cdot n^{k +1}$
                                             $=m^{k ^*} \cdot n^{k ^*}.$                      $\checkmark$

Ejercicio 11. Demostrar:      $(1)^p=1$.

Demostración:  Sea  $P(p):(1)^p.$

Entonces:         $P(1):(1)^1=1$                $\checkmark$

HI                  $P(k):(1)^k=1$                $\checkmark$

TI                  $P(k^*):(1)^{k^*}=1$
Prueba:          $(1)^{k^*}=(1)^{k+1}$
                              $=1^k\cdot1^1$
                              $=1\cdot1$
                              $=1$.


Nótese la utilización reiterada de lo que se ha ido definiendo en el desarrollo de cada problema. Cómo vamos usando lo ya probado o supuesto verdadero conforme llevamos adelante el razonamiento. Revise con atención cada paso y se dará cuenta de que al avanzar siempre utilizamos una idea anterior de éste o de anteriores ejercicios. Esa es la ventaja y el poder del método, que no necesitamos probar una y otra vez cada problema, sino que podemos utilizar con confianza y precisión lo ya probado para construir un conocimiento sólido que nos permita adentrarnos en las Ciencias Exactas,