DESIGUALDADES II.

C) El sentido de una desigualdad  se altera si ambos miembros se multiplican por o se dividen entre un mismo número negativo.

Demostración:

C1) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.

Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=P\cdot q$,

de donde $a\cdot q-b\cdot q=P\cdot q$.

Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número negativo.

Es decir $a\cdot q-b\cdot q= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $aq<bq$.

$\therefore$  si  $a>b$  y  $q<0$, entonces $aq<bq$.


 C2) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.

Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{P}{q}$,

de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{P}{q}$.

Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{P}{q}$ es un número negativo.

Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.

$\therefore$  si  $a>b$  y  $q<0$, entonces$\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.



C3) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.

Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=N\cdot q$,

de donde $a\cdot q-b\cdot q=N\cdot q$.

Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número positivo.

Es decir $a\cdot q-b\cdot q= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $aq>bq$.

$\therefore$  si  $a<b$  y  $q<0$, entonces $aq>bq$.

C4) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.

Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.

Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{N}{q}$,

de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{N}{q}$.

Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{N}{q}$ es un número positivo.

Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.

$\therefore$  si  $a<b$  y  $q<0$, entonces$\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.

Ejemplos:

a)  $3x-1>6x+8$

Solución:

$3x-6x>8+1$

$-3x>9$.

Dividiendo ambos miembros entre $-3$ y aplicando las propiedades que acabamos de demostrar, tenemos,

$\frac{-3x}{-3}<\frac{9}{-3}$.

$\therefore x<-3$.

b)$ -7-12x<5x+10$

Solución:

$-12x-5x<10+7$,

$-17x<17$,

Dividiendo ambos miembros entre $-17$, tenemos

$x>\frac{17}{-17}.$

$\therefore x>-1$.

c)$\frac{2x-4}{-3}>6x+1$

Solución:

$ \left(\frac{2x-4}{-3}\right)(-3)<\left(6x+1\right)(-3),$

$2x-4<-18x-3$,

$20x<1$,

$\therefore x<\frac{1}{20}.$

DESIGUALDADES I.

Ya que no tiene sentido decir que un número complejo es mayor o menor que otro, en el tema de las desigualdades únicamente vamos a trabajar con números reales, es decir, sólo números del conjunto $\mathbb{R}$.

• Definición. Se dice que el número $a$  es mayor que el número $b$, lo que se escribe $a>b$, si la diferencia $a-b$ es un número positivo.

     Es decir: Si $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.                                                                          $\left(a>b \rightarrow a-b=P\right)$.

Del mismo modo, vemos que: si $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo, entonces  $a>b$.

                                             $\left(a-b=P \rightarrow a>b\right)$.

Si de antemano establecemos que $P$ representa cualquier número positivo, el razonamiento anterior lo podemos resumir de la siguiente manera:

      

                                    $a>b \leftrightarrow a-b=P$.                                                                                            

      

• Definición. Se dice que el número $a$  es menor que el número $b$, lo que se escribe $a<b$, si la diferencia $a-b$ es un número negativo.

     Es decir: Si $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.                                                                          $\left(a<b \rightarrow a-b=N\right)$.

Del mismo modo, vemos que: si $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo, entonces  $a<b$.

                                             $\left(a-b=N \rightarrow a<b\right)$.

Si de antemano establecemos que $N$ representa cualquier número negativo, el razonamiento anterior lo podemos resumir de la siguiente manera:

      

                                    $a<b \leftrightarrow a-b=N$.      

Ejemplos:

a) $5>-7$ porque $5-(-7)=5+7=+12$,

b) $-8>-10$ porque $-8-(-10)=-8+10=+2$,

c) $-4<-1$  porque $-4-(-1)=-4+1=-3$,

d) $5<11$  porque $5-11=-6$.

Hay dos tipos de desigualdades: desigualdades absolutas y las desigualdades condicionales o inecuaciones.

Una desigualdad absoluta o incondicional es aquella que tiene el mismo sentido para todos los valores de las variables para los que están definidos sus miembros. Ejemplos: a) $2>-3$  y  b) $-x^2<0$.

Una desigualdad condicional o inecuación es aquella que tiene el mismo sentido solo para ciertos valores de las variables, tomados entre los valores para los que sus miembros están definidos.

• Propiedades de las desigualdades.

    A) El sentido de una desigualdad no se altera si se suma o se resta a ambos miembros la misma cantidad.

Demostración:

A1) Sea  $a>b$.
Entonces  $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.
Si $c \in \mathbb{R}$, tenemos  $a+c-b-c=P$,

         de donde $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=P$.

                                    $\therefore a+c>b+c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da positivo.

De la misma manera  vemos que
                                $a-c-b+c=P$,

de donde $\left(a-c\right)-\left(b-c\right)=P$.

                                    $\therefore a-c>b-c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da positivo.

A2) Sea  $a<b$.
Entonces  $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.
Si $c \in \mathbb{R}$, tenemos  $a+c-b-c=N$,

  de donde $\left(a+c\right)-\left(b+c\right)=N$.

                                    $\therefore a+c<b+c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da negativo.

De la misma manera  vemos que
                                $a-c-b+c=N$,

de donde $\left(a-c\right)-\left(b-c\right)=N$.

                                    $\therefore a-c<b-c$.

Ya que la diferencia de las dos cantidades nos da negativo.

Esta propiedad nos permite resolver algunos problemas sencillos .

Ejemplos:

a) $x+4>2$

Solución:

Restando $4$ a ambos miembros de la desigualdad obtenemos,

$x+4-4>2-4$

$\therefore x>-2$.


b) $x-1<-6$

Solución:

Sumando $1$ en ambos miembros de la desigualdad nos queda,

$x-1+1<-6+1$

$\therefore x<-5$.

Nótese que la aplicación de esta propiedad es lo mismo que decir "lo que está sumando pasa restando y lo que está restando pasa sumando".

Es decir:

a) $x+4>2$

Solución.

Como queremos despejar la $x$, el $4$ que está sumando lo pasamos restando, y obtenemos

$x>2-4$

$\therefore x>-2$.


b) $x-1<-6$

Solución.

Como queremos despejar la $x$, el $1$ que está restando lo pasamos sumando, y obtenemos

$x<-6+1$

$\therefore x<-5$.


B) El sentido de una desigualdad no se altera si ambos miembros se multiplican por o se dividen entre un mismo número positivo.

Demostración.

B1) Sean $a>b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=P1$, donde $P1$ es un número positivo.

Si multiplicamos la igualdad anterior por $c>0$,

     tenemos        $\left(a-b\right)\cdot c=P1\cdot c$

     de donde     $ac-bc=P1\cdot c$ .

Como $P1$ y $c$ son positivos, entonces $P1\cdot c=P$ es positivo.

    Nos queda       $ac-bc=P$ .

            $\therefore ac>bc$.


B2) Sean $a>b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=P1$, donde $P1$ es un número positivo.

Si dividimos la igualdad anterior entre $c>0$,

     tenemos        $\frac{a-b}{ c}=\frac{P1}{c}$

     de donde     $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{P1}{c}$ .

Como $P1$ y $c$ son positivos, entonces $\frac{P1}{c}=P$ es positivo.

    Nos queda       $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=P$ .

            $\therefore \frac{a}{c}>\frac{b}{c}$.


B3) Sean $a<b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=N1$, donde $N1$ es un número negativo.

Si multiplicamos la igualdad anterior por $c>0$,

     tenemos        $\left(a-b\right)\cdot c=N1\cdot c$

     de donde     $ac-bc=N1\cdot c$ .

Como $N1$ es negativo y $c$ es positivo, entonces $N1\cdot c=N$ es negativo.

    Nos queda       $ac-bc=N$ .

            $\therefore ac<bc$.

B4) Sean $a<b$ y $c>0$.

Entonces  $a-b=N1$, donde $N1$ es un número negativo.

Si dividimos la igualdad anterior entre $c>0$,

     tenemos        $\frac{a-b}{ c}=\frac{N1}{c}$

     de donde     $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{N1}{c}$ .

Como $N1$ es negativo y $c$ es positivo , entonces $\frac{P1}{c}=N$ es negativo.

    Nos queda       $\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=N$ .

            $\therefore \frac{a}{c}<\frac{b}{c}$.

Ejemplos:

a) $\frac{x}{2}>-1$.

Solución.

Multiplicando ambos miembros por $2$, obtenemos

$\frac{x}{2}\cdot 2>-1\cdot 2$

$\therefore x>-2$.

b) $\frac{x}{8}<\frac{5}{8}$.

Solución.

Multiplicando ambos miembros por $8$, obtenemos

$\frac{x}{8}\cdot 8<\frac{5}{8}\cdot 8$

$\therefore x<5$.

c)  $3x<-6$

      Dividiendo ambos miembros entre $3$, obtenemos

$\frac{3x}{3}<\frac{-6}{3}$

$\therefore x<-2$.


  

d)  $5x>-4$

      Dividiendo ambos miembros entre $5$, obtenemos

$\frac{5x}{5}>\frac{-4}{5}$

$\therefore x>\frac{-4}{5}$.

Hay que notar que esta propiedad B) también se puede interpretar como "lo que está multiplicando a todos los términos de un miembro de una desigualdad (si es positivo) pasa dividiendo a todos los términos del otro miembro de la desigualdad y lo que está dividiendo a todos los términos de un  miembro de una desigualdad (si es positivo) pasa multiplicando a todos los términos del otro miembro de dicha desigualdad".

Ejemplos:

a) $\frac{x}{2}>-1$.

Solución.

Como el $2$ está dividiendo en el primer miembro, lo pasamos multiplicando al segundo.

Entonces

$x>-1\cdot2$,

$\therefore x>-2$.

b) $\frac{x}{8}<\frac{5}{8}$.

Solución.

Como el $8$ está dividiendo en el primer miembro, lo pasamos multiplicando al segundo y obtenemos

$x<\frac{5}{8}\cdot 8$

$\therefore x<5$.

c)  $3x<-6$

Solución.

      Como el $3$ está multiplicando en el primer miembro, lo pasamos dividiendo al segundo y obtenemos

$x<\frac{-6}{3}$

$\therefore x<-2$.


  

d)  $5x>-4$

     Como el $5$ está multiplicando en el primer miembro, lo pasamos dividiendo al segundo y obtenemos

$x>\frac{-4}{5}$

$\therefore x>\frac{-4}{5}$.

                                                                              

Contra-ejemplos de inducción matemática.

Hay que recordar que para la validez  de una prueba mediante inducción matemática, de deben cumplir necesariamente las dos primeras condiciones:

• $P(1)$ verdadera.
• $P(k)$ verdadera.

Consideremos los siguientes ejemplos:

a)Consideremos la relación

         $1+3+5+\cdots+\left(2n-1\right)=n.$
Entonces, para:

        $n=1$, tenemos  $2\cdot1-1=2-1=1$                $\checkmark$
        $n=k$, tenemos   $1+3+5+\cdots+\left(2k-1\right)=k.$               $\checkmark$
        $n=k^*$, tenemos  $1+3+5+\cdots+\left(2k-1\right)+\left(2\cdot k^*-1\right)=k+\left(2 \cdot \left(k+1\right)-1\right)$
                                               $=k+2k+2-1$
                                               $=3k+1.$
Que no es el resultado $k^*$ que esperábamos.
   $\therefore$ la proposición no es válida.

b)Consideremos ahora la relación
            $1+3+5+\cdots+ \left(2n-1\right)=n^2+1.$
Entonces, para:

    $n=1$, tenemos $3\cdot 1-1=3-1=2$ que es diferente a $1^2+1=1+1=1.$

   $\therefore$ la proposición no es válida, y no valdría la pena continuar.
Sin embargo, para efectos de ejemplificación, revisemos la proposición para $n=k^*$, suponiendo que se cumple para $n=k$.
 Nos queda:

 $1+3+5+\cdots+ \left(2k-1\right)+\left(2k^*-1\right)=k^2+1+\left(2\cdot \left(k+1\right)-1 \right)$
                                                                              $=k^2+1+2k+2-1$
                                                                              $=\left(k^2+2k+1\right)+1$
                                                                              $=\left(k+1\right)^2+1$
                                                                              $=\left(k^*\right)^{2}+1.$
Que sí cumple con lo esperado para $n=k^*$, pero como la prueba falló para $n=1$, encontramos que la proposición no es válida.



c) ¿Representa la expresión $n^2-n+11$ un número primo $\forall  n \in \mathbb{N}$?

Solución, para:
   $n=1,$ tenemos  $1^2-1+11=1-1+11=11$,                $\checkmark$
   $n=2,$ tenemos  $2^2-2+11=4-2+11=13$,                $\checkmark$
   $n=3,$ tenemos  $3^2-3+11=9-3+11=17$,                $\checkmark$
   $n=4,$ tenemos  $4^2-4+11=16-4+11=23$,                $\checkmark$
   $n=5,$ tenemos  $5^2-5+11=25-5+11=31$,                $\checkmark$
   $n=6,$ tenemos  $6^2-6+11=36-6+11=41$,                $\checkmark$
   $n=7,$ tenemos  $7^2-7+11=49-7+11=53$,                $\checkmark$
   $n=8,$ tenemos  $8^2-8+11=64-8+11=67$,                $\checkmark$
   $n=9,$ tenemos  $9^2-9+11=81-9+11=83$,                $\checkmark$
   $n=10,$ tenemos  $10^2-10+11=100-10+11=101$,                $\checkmark$
   $n=11,$ tenemos  $11^2-11+11=121=11\times11$,            ¡Que no es primo!

Por lo tanto: $n^2-n+11$  NO  es un número primo $\forall  n \in \mathbb{N}.$

Puede parecer extraño el porqué de revisar con tanto detenimiento este último ejemplo. Hay dos razones principales:

a) Fue sugerido por Leonard Euler, y
b) Siempre  se ha buscado una fórmula general para generar números primos, con resultados infructuosos hasta ahora.

Con estos contraejemplos cerramos por ahora nuestro estudio de inducción matemática.
En la próxima entrada comenzamos un tema nuevo.

Ejemplo de inducción matemática en trigonometría .

 Nota.Por cuestiones de tipografía, la función $sen\theta$, va a  aparecer como   $ \sin\theta$ 


  Ejercicio 11. Demostrar:   $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin n\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(n+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} n\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$  

Demostración:

Para:
         $n=1$, tenemos
                                 $\sin 1\cdot \theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\left(1+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} 1       \cdot \theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$

                                   $\sin 1\cdot \theta = \sin\frac{1}{2}\left(2\right)\theta$

                                  $\sin \theta=\sin \theta$     $\checkmark$

       Aunque no se pide revisamos para $n=2$,

                               $\sin 1\cdot \theta+\sin 2\cdot \theta = \sin\theta+\sin 2\theta$
                                                               $ =\sin \theta+2\sin\theta \cos\theta$
                                                               $=\left(1+2\cos \theta\right)\sin \theta$
                                                              $=\left(3-2+2\cos \theta\right)\sin \theta$
                                                              $=\left[3-2\left(1-\cos \theta\right)\right]\sin \theta$
                                                              $=\left[3-4\frac{\left(1-\cos \theta\right)}{2}\right]\sin \theta$
                                                              $=\left[3-4\sin^2\frac{\theta}{2}\right]\sin \theta$

                                                            $ =\frac{\sin\frac{\theta}{2}\left[3-4\sin^2\frac{\theta}{2}\right]\sin \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$

                                                           $ =\frac{\left(3\sin\frac{\theta}{2}-4\sin^3\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$


                                                          $ =\frac{\sin\frac{3\theta}{2} \sin \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}.$         $\checkmark$


HI       $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}.$                            $\checkmark$


TI       $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k^*\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k^*+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k^*\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}.$


Prueba:
            $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k^*\theta=\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k\theta+\sin k^*\theta$

                                                                             $= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+\sin\left( k+1\right)\theta$
                        
    $= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+\sin2\left(\frac{1}{2}\left( k+1\right)\right)\theta$

    $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+2\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\cos\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta$

 $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta+2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\cos\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\left(k+1\right)\theta}{2} \right]$
 $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos {\left(\frac{k\theta}{2}+\frac{\theta}{2}\right)} \right]$                                        $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos \frac{k\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{k\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right)\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{k\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{k\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right]$
 

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta\left(1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\right) +\cos \frac{k\theta}{2}2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta\cos\theta +\cos \frac{k\theta}{2}\sin\theta\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{k\theta}{2}+\theta\right)$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{k\theta+2\theta}{2}\right)$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left(\frac{k\theta+2\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left(\frac{\left(k+2\right)\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left[\frac{\left(\left(k+1\right)+1\right)\theta}{2}\right]}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}k^*\theta\sin\left[\frac{\left(k^*+1\right)\theta}{2}\right]}{\sin\frac{\theta}{2}}.$   $\checkmark$
 

Ejercicios de inducción matemática III

En esta entrada se revisan las leyes de los exponentes para números naturales, que en esencia son las mismas que se aplican a los números reales. Dominar estas leyes proporciona una herramienta algebraica inigualable para estudios superiores. Todos los números y todas las variables que aparecen en esta entrada pertenecen al conjunto de los números naturales  $\mathbb{N}=\{1,2,3,...,\}.$

Definición:         $m^1=m$,        $m^{p+1}=m^p\cdot m$


Ejercicio 8.  Demostrar:       $m^p\cdot m^q=m^{p+q}$.

Demostración: Sea  $P(q):m^p\cdot m^q.$

Entonces:    $P(1): m^p\cdot m^1=m^p\cdot m=m^{p+1}$,               $\checkmark$

HI                                             $m^p\cdot m^k=m^{p+k}$,                                        $\checkmark$

TI                                    $m^p\cdot m^{k^*}=m^{p+k^*}.$
Prueba:         $m^p\cdot m^{k^*}=m^p \cdot m^{k+1}$
                                                             $=m^p \cdot \left(m^k \cdot m^1\right)$
                                                             $=\left(m^p \cdot m^k\right)\cdot m^1$
                                                             $=\left(m^{p+k}\right)\cdot m^1$
                                                             $=m^{\left(p+k\right)+1}$
                                                             $=m^{p+k^*}$.                       $\checkmark$


Ejercicio 9.   Demostrar:              $\left(m^p\right)^q=m^{p\cdot q}$.

Demostración: Sea                         $P(q): \left(m^p\right)^q$.
Entonces:                                     $P(1):\left(m^p\right)^1=m^p=m^{p\cdot 1}.$             $\checkmark$

HI                                               $P(k):\left(m^p\right)^k=m^{p\cdot k}$.                              $\checkmark$

TI                                              $P(k^*):\left(m^p\right)^{k^*}=m^{p\cdot k^*}$.
Prueba:                                      $\left(m^p\right)^{k^*}=\left(m^p\right)^{k+1}$
                                                              $=\left(m^p\right)^k\cdot (m^p)$
                                                              $=m^{p\cdot k}\cdot m^p$
                                                              $=m^{p\cdot k+p}$
                                                              $=m^{p\cdot k^*}.$                               $\checkmark$


Ejercicio 10. Demostrar:     $(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$

Demostración: Sea     $P(p):(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$

Entonces:                 $P(1):(m \cdot n )^1=m \cdot n=m^1 \cdot n^1$               $\checkmark$

HI                          $P(k):(m \cdot n )^k=m^k \cdot n^k$                              $\checkmark$

TI                          $P(k^*):(m \cdot n )^{k^*}=m^{k^*} \cdot n^{k^*}$

Prueba:                  $(m \cdot n )^{k^*}=(m \cdot n )^{k+1}$
                                             $=(m \cdot n )^k \cdot (m \cdot n)^1$
                                             $=(m^k \cdot n ^k) \cdot (m^1 \cdot n^1)$
                                             $=(m^k \cdot m ^1) \cdot (n^k \cdot n^1)$
                                             $=m^{k +1} \cdot n^{k +1}$
                                             $=m^{k ^*} \cdot n^{k ^*}.$                      $\checkmark$

Ejercicio 11. Demostrar:      $(1)^p=1$.

Demostración:  Sea  $P(p):(1)^p.$

Entonces:         $P(1):(1)^1=1$                $\checkmark$

HI                  $P(k):(1)^k=1$                $\checkmark$

TI                  $P(k^*):(1)^{k^*}=1$
Prueba:          $(1)^{k^*}=(1)^{k+1}$
                              $=1^k\cdot1^1$
                              $=1\cdot1$
                              $=1$.


Nótese la utilización reiterada de lo que se ha ido definiendo en el desarrollo de cada problema. Cómo vamos usando lo ya probado o supuesto verdadero conforme llevamos adelante el razonamiento. Revise con atención cada paso y se dará cuenta de que al avanzar siempre utilizamos una idea anterior de éste o de anteriores ejercicios. Esa es la ventaja y el poder del método, que no necesitamos probar una y otra vez cada problema, sino que podemos utilizar con confianza y precisión lo ya probado para construir un conocimiento sólido que nos permita adentrarnos en las Ciencias Exactas,

Ejercicios de inducción matemática II

Continuamos resolviendo problemas de inducción matemática, con $\mathbb{N}= \{1,2,3,...\}. $

Ejercicio 4. Demostrar,  para $a$, $d$ fijos y $n$ variable

                          $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(n-1)d \right)= \frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d \right).$

Demostración:

Para:   $n=1$,         $a+(1-1)d= \frac{1}{2}\left(2a+(1-1)d \right)$
                             
                                           $a=a$.                                                      $\checkmark$  

          $n=k$,
  HI        $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k-1)d \right)= \frac{k}{2}\left(2a+(k-1)d \right).$ $\checkmark$


         $n=k^*$,

TI     $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k^*-1)d \right)=\underbrace{a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k-1)d \right)}+\left(a+(k^*-1)d \right)$                                                                                                                           HI


                                                                          $=\underbrace{\frac{k}{2}\left(2a+(k-1)d \right)}+\left(a+(k^*-1)d \right)$                                                                                            HI


                                                  $=\frac{k\left(2a+(k-1)d \right)+2\left(a+(k^*-1)d \right)}{2}$

                                                  $=\frac{k\left(2a+(k-1)d \right)+2\left(a+\left((k+1)-1\right)d \right)}{2}$

                                                  $=\frac{k\left(2a+kd-d \right)+2\left(a+kd \right)}{2}$
                                                                             
                                                   $=\frac{k2a+k^2d-kd +2a+2kd }{2}$

                                                  $=\frac{k2a+2a+k^2d+kd }{2}$

                                                  $=\frac{\left(k+1\right)2a+kd\left(k+1\right) }{2}$

                                                  $=\frac{\left(k+1\right)\left(2a+kd\right) }{2}$
                                                                        $=\frac{\left(k+1\right)\left[2a+\left(\left(k+1\right)-1\right)d\right] }{2}$

                                                  $=\frac{k^* \left[2a+\left(k^*-1\right)\right]d}{2}$      $\checkmark$



Ejercicio 5. Demostrar       $2+2^2+2^3+\cdots2^n=2\left(2^n-1\right).$

Para:  $n=1$,             $2^1=2\left(2^1-1\right)=2\left(2-1\right)=2\cdot 1=2.$            $\checkmark$

 HI   $n=k$,    $2+2^2+2^3+\cdots2^k=2\left(2^k-1\right).$  $\checkmark$                                                                                 

TI    $n=k^*$          $2+2^2+2^3+\cdots2^{k^*}=2\left(2^{k^*}-1\right).$                  


Prueba:             $2+2^2+2^3+\cdots2^{k^*}=\underbrace{2+2^2+2^3+\cdots2^k}+2^{k^*}$
                                                               HI
                                                                     $=\underbrace{2\left(2^k-1\right)}+2^{k^*}$
                                                                                  HI
                                                                     $=2^{k+1}-2+2^{k+1}$

                                                                     $=2\cdot 2^{k+1}-2$
                                                                 
                                                                     $=2\left( 2^{k^*}-1\right).$           $\checkmark$

Ejercicio 6.  Demostrar:

   $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}.$  

Para:    $n=1$,        $\frac{1}{2^{1-1}}= 2-\frac{1}{2^{1-1}}$

                                $\frac{1}{2^0}= 2-\frac{1}{2^0}$ 
                                    
                                   $\frac{1}{1}= 2-\frac{1}{1}$
                              
                                       $1=1.$                            $\checkmark$



       $n=k$
HI           
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}=2-\frac{1}{2^{k-1}}.$
                                                                                       $\checkmark$

     $n=k^*$
TI
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k^*-1}}=2-\frac{1}{2^{k^*-1}}.$

Prueba:
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k^*-1}}=\underbrace{1+\frac{1}       {2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2^{k^*-1}}$

                                                 $=\underbrace{2-\frac{1}{2^{k-1}}} +\frac{1}{2^{k^*-1}}$                                                                                        HI

                                                $=2-\frac{1}{2^k\cdot 2^{-1}} +\frac{1}{2^{\left(k+1\right)-1}}$

                                               $=2-\frac{2}{2^k} +\frac{1}{2^k}$

                                               $=2-\frac{1}{2^k} =2-\frac{1}{2^{\left(k+1\right)-1}}$

                                               $=2-\frac{1}{2^{k^*-1}}$              $\checkmark$

Ejercicio 7. Demostrar 
    
   $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2}{4}\left(n+1\right)^2.$

Demostración:

Para: $n=1$,                $1^3=\frac{1^2}{4}\left(1+1\right)^2$

                                        $1=\frac{1^2}{4}2^2$ 

                                        $1=\frac{1}{4}4$

                                                            $1=1$                         $\checkmark$
HI   
Para $n=k$,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{k^2}{4}\left(k+1\right)^2.$    $\checkmark$

                                                                                    
TI
Para $n=k^*$,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+\left(k^*\right)^3=\frac{\left(k^*\right)^2}{4}\left(k^*+1\right)^2.$

Demostración:
$1^3+2^3+3^3+\cdots+\left(k^*\right)^3=\underbrace{1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3}+\left(k^*\right)^3$ 
                                                                $=\underbrace{\frac{k^2}{4}\left(k+1\right)^2}+\left(k+1\right)^3$
                                                               
                                                               $=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)$

                                                             $=\left(k+1\right)^2 \frac{\left(k^2+4k+4\right)}{4}$

                                                           $=\frac{\left(k+1\right)^2}{4}\left(k+2\right)^2$
                         
                                                          $=\frac{\left(k+1\right)^2}{4}\left(\left(k+1\right)+1\right)$

                                                                                       
                                                                                 $=\frac{\left(k^*\right)^2}{4}\left(k^*+1\right)^2.$          $\checkmark$
                                                                                                                                       

Ejercicios sobre Inducción Matemática I.

En  esta entrada se estudian ejercicios clásicos de inducción matemática.Se intenta dar claridad al desarrollo de los problemas. En todos los casos se toma     $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ... \}.$


Ejercicio 1. Demostrar que $1+2+3+\cdots +n= \frac{1}{2}n(n+1).$        $(Ec. 1)$

Demostración:
         Para $n=1$, tenemos   $1=\frac{1}{2}(1)(1+1)=\frac{1}{2}(1)(2)=1.$       $\checkmark$

Supongamos ahora que la proposición se cumple para $n=k$, es decir supongamos que la proposición
         
                       $1+2+3+\cdots +k = \frac{1}{2}k(k+1)$  es verdadera, esta es nuestra Hipótesis de Inducción, que indicamos como HI,  es decir, suponemos
                     
          HI             $1+2+3+\cdots +k = \frac{1}{2}k(k+1)$                 $\checkmark$  

Nos queda por probar  que

   $1+2+3+\cdots +k^* = \frac{1}{2}k^*(k^*+1)$    es verdadera, esta es nuestra Tesis de Inducción que indicamos como TI, es decir, nos falta por probar

  TI               $1+2+3+\cdots +k^* = \frac{1}{2}k^*(k^*+1)$              $\checkmark$.

Prueba:

  $1+2+3+\cdots +k^*=\underbrace{1+2+3+\cdots +k}+k^*=\underbrace{\frac{1}{2}k(k+1)}+(k+1)$
                                                          HI                                   HI

                                 $=\frac{k}{2}(k+1)+1\cdot(k+1)=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=(k+1)(\frac{k+2}{2})$
                                 $=(k+1) \left( \frac{(k+1)+1}{2} \right)=\frac{1}{2}k^*(k^*+1)$.           $\checkmark$

Ya que es la misma $(Ec. 1)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                           $\therefore 1+2+3+\cdots +n= \frac{1}{2}n(n+1).$


Ejercicio 2.  Demostrar  $ 2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$                           $(Ec. 2)$

Demostración:

           Para $n=1$, tenemos  $2\cdot 1=1\cdot (1+1)=1\cdot 2=2.$                $\checkmark$

 HI                   Para $n=k$, suponemos  $ 2+4+6+\cdots +2k=k(k+1).$                $\checkmark$

          Nos queda probar que

 TI                           Para $n=k^*$,   $ 2+4+6+\cdots +2k^*=k^*(k^*+1).$   

Prueba:

$ 2+4+6+\cdots +2k^*=2+4+6+\cdots +2k+2k^*= \underbrace{2+4+6+\cdots +2k}+2k^*$
                                                                                                             HI  

                                  $=\underbrace{k(k+1)}+2(k+1)=(k+1)(k+2)=k^*(k^*+1).$         $\checkmark$
                                            HI 


Ya que es la misma $(Ec. 2)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                        $\therefore  2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$

Ejercicio 3. . Demostrar que $3+6+9+\cdots +3n= \frac{3}{2}n(n+1).$        $(Ec. 3)$

Demostración:
         Para $n=1$, tenemos   $3\cdot 1=\frac{3}{2}(3)(1+1)=\frac{3}{2}(2)=3.$       $\checkmark$

Supongamos ahora que la proposición se cumple para $n=k$,
                   
          HI               $3+6+9+\cdots +3k = \frac{3}{2}k(k+1)$                 $\checkmark$

Nos queda por probar  que

  TI                  $3+6+9+\cdots +3k^* = \frac{3}{2}k^*(k^*+1)$              es verdadera.

Prueba:

 $3+6+9+\cdots +3k^*=\underbrace{3+6+9+\cdots 3k}+3k^*=\underbrace{\frac{3}{2}k(k+1)}+3(k+1)$
                                                        HI                                     HI

                                 $=3(k+1)\left( \frac{k}{2}+1\right)=3(k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right))$
                                 $=\frac{3}{2}(k+1) \left( (k+1)+1 \right)=\frac{3}{2}k^*(k^*+1)$.           $\checkmark$

Ya que es la misma $(Ec. 3)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                    $\therefore3+6+9+\cdots +3n= \frac{3}{2}n(n+1).$