Ejemplo 4. Demostrar que $x+y$ divide a $\left(x^{2n}-y^{2n}\right)$.
Entonces, sea
$P(n):(x+y)\mid \left (x^{2n}-y^{2n}\right)$, $ \forall\ {n} \in \mathbb{N}$ $(2.1)$
la proposición que vamos a demostrar.
Solución:
Primero probamos la proposiciónn $(2.1)$ para $n=1$.
$ P(1):\frac{x^{2(1)}-y^{2(1)}}{x+y}$$=\frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}$
$=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}$
$= x-y$
vemos que la proposiónn $(2.1)$ sí se cumple para $n=1$.
Ahora establecemos nuestra hipótesis de inducción afirmando que
$P(k):(x+y)\mid \left (x^{2(k)}-y^{2(k)}\right)$ $(2.2)$
es cierta.
Para terminar el problema vamos a demostrar que
$ P(k+1):(x+y)\mid \left (x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)}\right)$ $(2.3)$
es cierta.
Tenemos entonces que:
$\frac{x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)}}{x+y}$=$\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}$
Reacomodando el último cociente obtenemos
$ \frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}$ = $\frac{x^{2k+2}-x^{2k+1}y+x^{2k+1}y-x^{2k}y^2+x^{2k}y^2-y^{2k+2}}{x+y}$ $(2.4)$
$=\frac{x^{2k+1+1}-x^{2k+1}y+x^{2k+1}y-x^{2k}y^2+x^{2k}y^2-y^{2k+1+1}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+1}x-x^{2k}xy+x^{2k+1}y-x^{2k}y^2+x^{2k}y^2-y^{2k}y^2}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+1}(x-y)-x^{2k}y(x+y)+y^2(x^{2k}-y^{2k})}{x+y}$
$=x^{2k+1}-x^{2k} y+y^2 \frac{x^{2k}-y^{2k}}{x+y}.$ $(2.5)$
Proposición que es exactamente divisible entre $x+y$, ya que el segundo factor del último término de la ec.$(2.5)$ es nuestra hipótesis de inducción $(2.2)$, con lo cual terminamos nuestra demostración.
Puede parecer arbitrario el arreglo que hicimos para darle forma a la ec.$(2.4)$, sin embargo no lo es en absoluto ya que si operamos el cociente implicado por la ec.$(2.3)$ obtenemos, dependiendo de si tomamos uno, dos,tres o los términos que queramos en el cociente de la división:
a) Si tomamos el primer término del cociente obtenemos;
$x^{2k+1}$
_____________________________________________
$x+y\mid$ $x^{2k+2}$ $-y^{2k+2}$
$-x^{2k+2}$ $-x^{2k+1}y$
___________________________________________________
$-x^{2k+1}y$ $-y^{2k+2}$ .
Aplicando el algoritmo de la división a la última expresión tenemos:
$\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}$ = $x^{2k+1}-\frac{x^{2k+1}y+y^{2k+2}}{x+y}$
= $\frac{x^{2k+1}\left(x+y\right)-\left(x^{2k+1}y+y^{2k+2}\right)}{x+y}$
= $\frac{x^{2k+2}+x^{2k+1}y-x^{2k+1}y-y^{2k+2}}{x+y}$
= $\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}.$
b) Si tomamos los dos primeros términos del cociente nos queda:
$x^{2k+1}$ $-x^{2k}y$ ________________________________________________________
$x+y$ $\mid$ $x^{2k+2}$ $-y^{2k+2}$
$-x^{2k+2}$ $-x^{2k+1}y$
__________________________________________________________
$-x^{2k+1}y$
$+x^{2k+1}y$ $+x^{2k}y^2$
__________________________________________
$+x^{2k}y^2$ $-y^{2k+2}$
y utilizando el algoritmo de la división, encontramos:
$\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}$ $=x^{2k+1}-x^{2k}y+\frac{x^{2k}y^2-y^{2k+2}}{x+y}$ $(2.6)$
$=\frac{\left(x^{2k+1}-x^{2k}y\right)(x+y)+x^{2k}y^2-y^{2k+2}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+2}-x^{2k+1}y+x^{2k+1}y-x^{2k}y^2+x^{2k}y^2-y^{2k+2}}{x+y}$ $(2.7)$
$=\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x-y}.$
c) Si tomamos los tres primeros términos del cociente encontramos:
$x^{2k+1}-x^{2k}y+x^{2k-1}y^2$
_____________________________________________________
$x+y \mid \ \ x^{2k+2}$ $- y^{2k+2}$
$-x^{2k+2}-x^{2k+1}y$
_________________
$-x^{2k+1}y$
$+x^{2k+1}y+x^{2k}y^2$
_____________________
$+x^{2k}y^2$
$-x^{2k}y^2-x^{2k-1}y^3$
____________________________________
$-x^{2k-1}y^3 \ \ \ - y^{2k+2}.$
Si hacemos lo mismo que en los dos casos anteriores llegamos a la expresión:
$\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}$ $=x^{2k+1}-x^{2k}y+x^{2k-1}y^2-\frac{x^{2k-1}y^3+y^{2k+2}}{x+y}$
$=\frac{\left(x^{2k+1}-x^{2k}y+x^{2k-1}y^2\right)(x+y)-x^{2k-1}y^3-y^{2k+2}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+2}-x^{2k+1}y+x^{2k}y^2+x^{2k+1}y-x^{2k}y^2+x^{2k-1}y^3-x^{2k-1}y^3-y^{2k+2}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x+y}.$
Advertimos que el arreglo que hicimos para solucionar la última parte de nuestro problema de inducción fue comenzar con la ec.$(2.7)$ y terminar con la ec.$(2.6)$, ya que ésta última también se puede escribir en la forma
$x^{2k+1}-x^{2k} y+y^2 \ \frac{x^{2k}-y^{2k}}{x+y}.$
Concluimos nuestro ejercicio revisando la naturaleza del cociente
$\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x+y}.$
A partir de la ec. $(2.2)$ tenemos que el cociente $\frac{x^{2k}-y^{2k}}{x+y}$ es una fracción entera, y que por lo tanto su residuo es cero. También sabemos que en la división de dos polinomios homogéneos en la que el grado del dividendo es $2k$ y el grado del divisor es $1$, el resultado es un polinomio homogéneo de grado $2k-1$.
De acuerdo a lo anterior tenemos;
$x^{2k-1}-x^{2k-2}y+$ $\cdots$ $+xy^{2k-2}-y^{2k-1}$
_________________________________________________________________________
$x+y \mid x^{2k}$ $ -y^{2k}$
$-x^{2k}-x^{2k-1}y$
___________________
$-x^{2k-1}y$
$+x^{2k-1}y+x^{2k-2}y^2$
________________________
$+x^{2k-2}y^2$
$\cdots$
$+x^2y^{2k-2}$
$-x^2y^{2k-2}-xy^{2k-1}$
_________________________
$-xy^{2k-1}$
$+xy^{2k-1}+y^{2k}$
________________
$0$ $0.$
Al sustituir este resultado en la ec.$(2.5)$ nos queda:
$ \frac{x^{2k+2}-y^{2k+2}}{x-y}$ $=x^{2k+1}-x^{2k}y+y^2 \frac{x^{2k}-y^{2k}}{x+y}$
$=x^{2k+1}-x^{2k}y+y^2\left(x^{2k-1}-x^{2k-2}y+\cdots+xy^{2k-2}-y^{2k-1}\right)$
$=x^{2k+1}-x^{2k}y+x^{2k-1}y^2-x^{2k-2}y^3+\cdots+xy^{2k}-y^{2k+1}$ $(2.8).$
Como $k \ \in \mathbb{N}$, la ec.$(2.8)$ toma la forma
$\frac{x^{2n}-y^{2n}}{x+y}=x^{2n-1}-x^{2n-2}y+x^{2n-3}y^2+\cdots+xy^{2n-2}-y^{2n-1},\ \ \forall{n} \in \mathbb{N}.$ $ (2.9)$
