Interpretación geométrica de las desigualdades. Continuación 4.

 h)Vamos a resolver a continuación la desigualdad

$x^{3} \geq - x^{2}$.

Solución: Al graficar las funciones observamos que la desigualdad se cumple en los intervalos $(-1,0]$ y $[0, +\infty)$, siendo las dos igual a $0$ en el punto $(0,0)$.

Si resolvemos algebraicamente la desigualdad tenemos:

$x^{3} \geq - x^{2}$

$x^{3} + x^{2}>0$

$x^{2}(x+1)\geq0$.

Los valores de $x$ que nos interesa revisar son $x=0$ y $x= -1$ , los cuales definen los intervalos $(-\infty,-1)$, $(-1,0]$ y $[0, +\infty)$. Nótese el sentido de los intervalos en $x=0$, ya que ahí son iguales las funciones.

La desigualdad la resolvemos y analizamos utilizando la siguiente tabla,

Vemos que la desigualdad se cumple en los intervalos $(-1,0]$ y $[0,+\infty)$, entonces la solución general de esta desigualdad es el intervalo $(-1,+\infty)$ pasando por $x=0$ donde son iguales $f1$ y $f2$.

En la siguiente gráfica mostramos $f1=x^{3}$, $f2= -x^{2}$ y la función $f3= x^{3}+x^{2}$. Donde se muestra que $f3\geq0$ se cumple en el mismo intervalo que la desigualdad original.

Interpretación geométrica de las desigualdades. Continuación 3

 g) Ahora revisamos la desigualdad

$x^{2} > - x$.

Solución. Si hacemos $f1=x^{2}$ y $f2=x$, vemos que $f1$ es mayor que $f2$ en los intervalos $(-\infty,-1)$ y $(0,+\infty)$, como podemos apreciar en la siguiente gráfica;

Si resolvemos la desigualdad, tenemos

$x^{2} > - x$

$x^{2} + x > 0$

$x(x+1)>0$.

Los valores a revisar son $x = -1$ y $x=0$, que son los que hacen cero a cada uno de los factores. Dichos valores de $x$ definen los intervalos $(- \infty,-1)$, $(-1.0)$, $(0,+ \infty)$.

Hacemos el análisis con la siguiente tabla:

Lo cual coincide con nuestra observación anterior y queda evidenciado en la siguiente gráfica;

Donde vemos que la función $f3=x^{2}+x$  es  $>0$  en los mismos intervalos.

Interpretación geométrica de las desigualdades ... Continuación 2.

 Interpretación geométrica de las desigualdades ... Continuación 2.

f) Ahora vamos a revisar la desigualdad 

$x^{2}<1$.

Solución. Si hacemos $f1=x^{2}$ y $f2=1$ y las representamos en el plano coordenado, notamos que la desigualdad se cumple en el intervalo $(-1,1)$, como se advierte en la gráfica siguiente:

Si resolvemos formalmente la desigualdad, tenemos

$x^{2}<1$

$x^{2}-1 < 0$

$(x+1)(x-1) < 0$.

Los valores de $x$ que vamos a analizar son los que caen en los intervalos $(-\infty,-1), (-1,1), (1,+\infty)$.

Para el intervalo $(-\infty,-1)$ hacemos $x=-1.1$ y sustituimos en cada uno de los factores, tomando en cuenta el signo en cada factor después de la sustitución, tenemos entonces:

$(-)(-)=(+)$

Como nos piden que la desigualdad sea $<0$ y como el valor que escogimos en este intervalo fue arbitrario, entonces ningún valor de este intervalo cumple con la desigualdad.

En el intervalo $(-1,1)$ escogemos un valor arbitrario, digamos $x=-0.1$ y hacemos un análisis semejante al del intervalo anterior, entonces:

$(+)(-)=(-)$,

vemos entonces que cualquier valor de este intervalo cumple con la desigualdad ya que nos piden sea $<0$.

Para el intervalo $(1,+\infty,)$ hacemos $x=1.5$, y obtenemos

$(+)(+)=(+)$,

y como nos piden que la desigualdad sea $<0$, entonces ningún valor de este intervalo cumple con la desigualdad.

Si ahora graficamos la función $f3=x^{2}-1$ con las dos anteriores vemos que efectivamente $x^{2}-1<0$ en el intervalo $(-1,1)$.

Interpretación geométrica de las desigualdades (Continuación 1).

 Interpretación geométrica de la desigualdades (continuación 1).

d) Tengamos ahora

$x+1 > x-1$.

Solución. Resolviendo la desigualdad obtenemos

$2>0$,

que es una expresión que se cumple para todos los valores de $x$, siendo además independiente de ellos, ya que es una constante. Esto nos indica que la desigualdad propuesta es verdadera para todos los valores de $x$.

Si construimos las funciones, siendo $f1 = x+1$ y  $f2 = x-1$ y las graficamos vemos que son dos rectas paralelas y que $f1$ es mayor que $f2$ para todos los valores de $x$.

e) Tengamos ahora

$x+1 < x-1$.

Solución. Resolviendo la desigualdad obtenemos

$2 < 0$,

que es una expresión que no se cumple para ningún valor de $x$, siendo además independiente de $x$, ya que dicha variable no aparece en el resultado. Esto nos indica que la desigualdad propuesta es falsa para todos los valores de $x$ .

Si construimos las funciones, siendo $f1 = x+1$ y  $f2 = x-1$ y las graficamos vemos que son dos rectas paralelas y que $f1$ nunca es menor que $f2$ para todos los valores de $x$.