Ejemplo de inducción matemática en trigonometría .

 Nota.Por cuestiones de tipografía, la función $sen\theta$, va a  aparecer como   $ \sin\theta$ 


  Ejercicio 11. Demostrar:   $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin n\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(n+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} n\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$  

Demostración:

Para:
         $n=1$, tenemos
                                 $\sin 1\cdot \theta = \frac{\sin\frac{1}{2}\left(1+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} 1       \cdot \theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$

                                   $\sin 1\cdot \theta = \sin\frac{1}{2}\left(2\right)\theta$

                                  $\sin \theta=\sin \theta$     $\checkmark$

       Aunque no se pide revisamos para $n=2$,

                               $\sin 1\cdot \theta+\sin 2\cdot \theta = \sin\theta+\sin 2\theta$
                                                               $ =\sin \theta+2\sin\theta \cos\theta$
                                                               $=\left(1+2\cos \theta\right)\sin \theta$
                                                              $=\left(3-2+2\cos \theta\right)\sin \theta$
                                                              $=\left[3-2\left(1-\cos \theta\right)\right]\sin \theta$
                                                              $=\left[3-4\frac{\left(1-\cos \theta\right)}{2}\right]\sin \theta$
                                                              $=\left[3-4\sin^2\frac{\theta}{2}\right]\sin \theta$

                                                            $ =\frac{\sin\frac{\theta}{2}\left[3-4\sin^2\frac{\theta}{2}\right]\sin \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$

                                                           $ =\frac{\left(3\sin\frac{\theta}{2}-4\sin^3\frac{\theta}{2}\right)\sin\theta}{\sin \frac{\theta}{2}}$


                                                          $ =\frac{\sin\frac{3\theta}{2} \sin \theta}{\sin \frac{\theta}{2}}.$         $\checkmark$


HI       $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}.$                            $\checkmark$


TI       $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k^*\theta= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k^*+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k^*\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}.$


Prueba:
            $\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k^*\theta=\sin\theta+\sin2\theta+\cdots+\sin k\theta+\sin k^*\theta$

                                                                             $= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+\sin\left( k+1\right)\theta$
                        
    $= \frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+\sin2\left(\frac{1}{2}\left( k+1\right)\right)\theta$

    $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}+2\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\cos\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta$

 $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta \sin\frac{1}{2} k\theta+2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\cos\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\left(k+1\right)\theta}{2} \right]$
 $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos {\left(\frac{k\theta}{2}+\frac{\theta}{2}\right)} \right]$                                        $=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\left(\cos \frac{k\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-\sin\frac{k\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right)\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta +2\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{k\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}-2\sin\frac{\theta}{2}\sin\frac{k\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\right]$
 

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta\left(1-2\sin^2\frac{\theta}{2}\right) +\cos \frac{k\theta}{2}2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\left[\sin\frac{1}{2} k\theta\cos\theta +\cos \frac{k\theta}{2}\sin\theta\right]$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{k\theta}{2}+\theta\right)$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\sin\left(\frac{k\theta+2\theta}{2}\right)$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left(\frac{k\theta+2\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left(\frac{\left(k+2\right)\theta}{2}\right)}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}\left(k+1\right)\theta\sin\left[\frac{\left(\left(k+1\right)+1\right)\theta}{2}\right]}{\sin\frac{\theta}{2}}$

$=\frac{\sin\frac{1}{2}k^*\theta\sin\left[\frac{\left(k^*+1\right)\theta}{2}\right]}{\sin\frac{\theta}{2}}.$   $\checkmark$
 

Ejercicios de inducción matemática III

En esta entrada se revisan las leyes de los exponentes para números naturales, que en esencia son las mismas que se aplican a los números reales. Dominar estas leyes proporciona una herramienta algebraica inigualable para estudios superiores. Todos los números y todas las variables que aparecen en esta entrada pertenecen al conjunto de los números naturales  $\mathbb{N}=\{1,2,3,...,\}.$

Definición:         $m^1=m$,        $m^{p+1}=m^p\cdot m$


Ejercicio 8.  Demostrar:       $m^p\cdot m^q=m^{p+q}$.

Demostración: Sea  $P(q):m^p\cdot m^q.$

Entonces:    $P(1): m^p\cdot m^1=m^p\cdot m=m^{p+1}$,               $\checkmark$

HI                                             $m^p\cdot m^k=m^{p+k}$,                                        $\checkmark$

TI                                    $m^p\cdot m^{k^*}=m^{p+k^*}.$
Prueba:         $m^p\cdot m^{k^*}=m^p \cdot m^{k+1}$
                                                             $=m^p \cdot \left(m^k \cdot m^1\right)$
                                                             $=\left(m^p \cdot m^k\right)\cdot m^1$
                                                             $=\left(m^{p+k}\right)\cdot m^1$
                                                             $=m^{\left(p+k\right)+1}$
                                                             $=m^{p+k^*}$.                       $\checkmark$


Ejercicio 9.   Demostrar:              $\left(m^p\right)^q=m^{p\cdot q}$.

Demostración: Sea                         $P(q): \left(m^p\right)^q$.
Entonces:                                     $P(1):\left(m^p\right)^1=m^p=m^{p\cdot 1}.$             $\checkmark$

HI                                               $P(k):\left(m^p\right)^k=m^{p\cdot k}$.                              $\checkmark$

TI                                              $P(k^*):\left(m^p\right)^{k^*}=m^{p\cdot k^*}$.
Prueba:                                      $\left(m^p\right)^{k^*}=\left(m^p\right)^{k+1}$
                                                              $=\left(m^p\right)^k\cdot (m^p)$
                                                              $=m^{p\cdot k}\cdot m^p$
                                                              $=m^{p\cdot k+p}$
                                                              $=m^{p\cdot k^*}.$                               $\checkmark$


Ejercicio 10. Demostrar:     $(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$

Demostración: Sea     $P(p):(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$

Entonces:                 $P(1):(m \cdot n )^1=m \cdot n=m^1 \cdot n^1$               $\checkmark$

HI                          $P(k):(m \cdot n )^k=m^k \cdot n^k$                              $\checkmark$

TI                          $P(k^*):(m \cdot n )^{k^*}=m^{k^*} \cdot n^{k^*}$

Prueba:                  $(m \cdot n )^{k^*}=(m \cdot n )^{k+1}$
                                             $=(m \cdot n )^k \cdot (m \cdot n)^1$
                                             $=(m^k \cdot n ^k) \cdot (m^1 \cdot n^1)$
                                             $=(m^k \cdot m ^1) \cdot (n^k \cdot n^1)$
                                             $=m^{k +1} \cdot n^{k +1}$
                                             $=m^{k ^*} \cdot n^{k ^*}.$                      $\checkmark$

Ejercicio 11. Demostrar:      $(1)^p=1$.

Demostración:  Sea  $P(p):(1)^p.$

Entonces:         $P(1):(1)^1=1$                $\checkmark$

HI                  $P(k):(1)^k=1$                $\checkmark$

TI                  $P(k^*):(1)^{k^*}=1$
Prueba:          $(1)^{k^*}=(1)^{k+1}$
                              $=1^k\cdot1^1$
                              $=1\cdot1$
                              $=1$.


Nótese la utilización reiterada de lo que se ha ido definiendo en el desarrollo de cada problema. Cómo vamos usando lo ya probado o supuesto verdadero conforme llevamos adelante el razonamiento. Revise con atención cada paso y se dará cuenta de que al avanzar siempre utilizamos una idea anterior de éste o de anteriores ejercicios. Esa es la ventaja y el poder del método, que no necesitamos probar una y otra vez cada problema, sino que podemos utilizar con confianza y precisión lo ya probado para construir un conocimiento sólido que nos permita adentrarnos en las Ciencias Exactas,

Ejercicios de inducción matemática II

Continuamos resolviendo problemas de inducción matemática, con $\mathbb{N}= \{1,2,3,...\}. $

Ejercicio 4. Demostrar,  para $a$, $d$ fijos y $n$ variable

                          $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(n-1)d \right)= \frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d \right).$

Demostración:

Para:   $n=1$,         $a+(1-1)d= \frac{1}{2}\left(2a+(1-1)d \right)$
                             
                                           $a=a$.                                                      $\checkmark$  

          $n=k$,
  HI        $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k-1)d \right)= \frac{k}{2}\left(2a+(k-1)d \right).$ $\checkmark$


         $n=k^*$,

TI     $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k^*-1)d \right)=\underbrace{a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k-1)d \right)}+\left(a+(k^*-1)d \right)$                                                                                                                           HI


                                                                          $=\underbrace{\frac{k}{2}\left(2a+(k-1)d \right)}+\left(a+(k^*-1)d \right)$                                                                                            HI


                                                  $=\frac{k\left(2a+(k-1)d \right)+2\left(a+(k^*-1)d \right)}{2}$

                                                  $=\frac{k\left(2a+(k-1)d \right)+2\left(a+\left((k+1)-1\right)d \right)}{2}$

                                                  $=\frac{k\left(2a+kd-d \right)+2\left(a+kd \right)}{2}$
                                                                             
                                                   $=\frac{k2a+k^2d-kd +2a+2kd }{2}$

                                                  $=\frac{k2a+2a+k^2d+kd }{2}$

                                                  $=\frac{\left(k+1\right)2a+kd\left(k+1\right) }{2}$

                                                  $=\frac{\left(k+1\right)\left(2a+kd\right) }{2}$
                                                                        $=\frac{\left(k+1\right)\left[2a+\left(\left(k+1\right)-1\right)d\right] }{2}$

                                                  $=\frac{k^* \left[2a+\left(k^*-1\right)\right]d}{2}$      $\checkmark$



Ejercicio 5. Demostrar       $2+2^2+2^3+\cdots2^n=2\left(2^n-1\right).$

Para:  $n=1$,             $2^1=2\left(2^1-1\right)=2\left(2-1\right)=2\cdot 1=2.$            $\checkmark$

 HI   $n=k$,    $2+2^2+2^3+\cdots2^k=2\left(2^k-1\right).$  $\checkmark$                                                                                 

TI    $n=k^*$          $2+2^2+2^3+\cdots2^{k^*}=2\left(2^{k^*}-1\right).$                  


Prueba:             $2+2^2+2^3+\cdots2^{k^*}=\underbrace{2+2^2+2^3+\cdots2^k}+2^{k^*}$
                                                               HI
                                                                     $=\underbrace{2\left(2^k-1\right)}+2^{k^*}$
                                                                                  HI
                                                                     $=2^{k+1}-2+2^{k+1}$

                                                                     $=2\cdot 2^{k+1}-2$
                                                                 
                                                                     $=2\left( 2^{k^*}-1\right).$           $\checkmark$

Ejercicio 6.  Demostrar:

   $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}.$  

Para:    $n=1$,        $\frac{1}{2^{1-1}}= 2-\frac{1}{2^{1-1}}$

                                $\frac{1}{2^0}= 2-\frac{1}{2^0}$ 
                                    
                                   $\frac{1}{1}= 2-\frac{1}{1}$
                              
                                       $1=1.$                            $\checkmark$



       $n=k$
HI           
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}=2-\frac{1}{2^{k-1}}.$
                                                                                       $\checkmark$

     $n=k^*$
TI
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k^*-1}}=2-\frac{1}{2^{k^*-1}}.$

Prueba:
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k^*-1}}=\underbrace{1+\frac{1}       {2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2^{k^*-1}}$

                                                 $=\underbrace{2-\frac{1}{2^{k-1}}} +\frac{1}{2^{k^*-1}}$                                                                                        HI

                                                $=2-\frac{1}{2^k\cdot 2^{-1}} +\frac{1}{2^{\left(k+1\right)-1}}$

                                               $=2-\frac{2}{2^k} +\frac{1}{2^k}$

                                               $=2-\frac{1}{2^k} =2-\frac{1}{2^{\left(k+1\right)-1}}$

                                               $=2-\frac{1}{2^{k^*-1}}$              $\checkmark$

Ejercicio 7. Demostrar 
    
   $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2}{4}\left(n+1\right)^2.$

Demostración:

Para: $n=1$,                $1^3=\frac{1^2}{4}\left(1+1\right)^2$

                                        $1=\frac{1^2}{4}2^2$ 

                                        $1=\frac{1}{4}4$

                                                            $1=1$                         $\checkmark$
HI   
Para $n=k$,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{k^2}{4}\left(k+1\right)^2.$    $\checkmark$

                                                                                    
TI
Para $n=k^*$,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+\left(k^*\right)^3=\frac{\left(k^*\right)^2}{4}\left(k^*+1\right)^2.$

Demostración:
$1^3+2^3+3^3+\cdots+\left(k^*\right)^3=\underbrace{1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3}+\left(k^*\right)^3$ 
                                                                $=\underbrace{\frac{k^2}{4}\left(k+1\right)^2}+\left(k+1\right)^3$
                                                               
                                                               $=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)$

                                                             $=\left(k+1\right)^2 \frac{\left(k^2+4k+4\right)}{4}$

                                                           $=\frac{\left(k+1\right)^2}{4}\left(k+2\right)^2$
                         
                                                          $=\frac{\left(k+1\right)^2}{4}\left(\left(k+1\right)+1\right)$

                                                                                       
                                                                                 $=\frac{\left(k^*\right)^2}{4}\left(k^*+1\right)^2.$          $\checkmark$
                                                                                                                                       

Ejercicios sobre Inducción Matemática I.

En  esta entrada se estudian ejercicios clásicos de inducción matemática.Se intenta dar claridad al desarrollo de los problemas. En todos los casos se toma     $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ... \}.$


Ejercicio 1. Demostrar que $1+2+3+\cdots +n= \frac{1}{2}n(n+1).$        $(Ec. 1)$

Demostración:
         Para $n=1$, tenemos   $1=\frac{1}{2}(1)(1+1)=\frac{1}{2}(1)(2)=1.$       $\checkmark$

Supongamos ahora que la proposición se cumple para $n=k$, es decir supongamos que la proposición
         
                       $1+2+3+\cdots +k = \frac{1}{2}k(k+1)$  es verdadera, esta es nuestra Hipótesis de Inducción, que indicamos como HI,  es decir, suponemos
                     
          HI             $1+2+3+\cdots +k = \frac{1}{2}k(k+1)$                 $\checkmark$  

Nos queda por probar  que

   $1+2+3+\cdots +k^* = \frac{1}{2}k^*(k^*+1)$    es verdadera, esta es nuestra Tesis de Inducción que indicamos como TI, es decir, nos falta por probar

  TI               $1+2+3+\cdots +k^* = \frac{1}{2}k^*(k^*+1)$              $\checkmark$.

Prueba:

  $1+2+3+\cdots +k^*=\underbrace{1+2+3+\cdots +k}+k^*=\underbrace{\frac{1}{2}k(k+1)}+(k+1)$
                                                          HI                                   HI

                                 $=\frac{k}{2}(k+1)+1\cdot(k+1)=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=(k+1)(\frac{k+2}{2})$
                                 $=(k+1) \left( \frac{(k+1)+1}{2} \right)=\frac{1}{2}k^*(k^*+1)$.           $\checkmark$

Ya que es la misma $(Ec. 1)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                           $\therefore 1+2+3+\cdots +n= \frac{1}{2}n(n+1).$


Ejercicio 2.  Demostrar  $ 2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$                           $(Ec. 2)$

Demostración:

           Para $n=1$, tenemos  $2\cdot 1=1\cdot (1+1)=1\cdot 2=2.$                $\checkmark$

 HI                   Para $n=k$, suponemos  $ 2+4+6+\cdots +2k=k(k+1).$                $\checkmark$

          Nos queda probar que

 TI                           Para $n=k^*$,   $ 2+4+6+\cdots +2k^*=k^*(k^*+1).$   

Prueba:

$ 2+4+6+\cdots +2k^*=2+4+6+\cdots +2k+2k^*= \underbrace{2+4+6+\cdots +2k}+2k^*$
                                                                                                             HI  

                                  $=\underbrace{k(k+1)}+2(k+1)=(k+1)(k+2)=k^*(k^*+1).$         $\checkmark$
                                            HI 


Ya que es la misma $(Ec. 2)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                        $\therefore  2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$

Ejercicio 3. . Demostrar que $3+6+9+\cdots +3n= \frac{3}{2}n(n+1).$        $(Ec. 3)$

Demostración:
         Para $n=1$, tenemos   $3\cdot 1=\frac{3}{2}(3)(1+1)=\frac{3}{2}(2)=3.$       $\checkmark$

Supongamos ahora que la proposición se cumple para $n=k$,
                   
          HI               $3+6+9+\cdots +3k = \frac{3}{2}k(k+1)$                 $\checkmark$

Nos queda por probar  que

  TI                  $3+6+9+\cdots +3k^* = \frac{3}{2}k^*(k^*+1)$              es verdadera.

Prueba:

 $3+6+9+\cdots +3k^*=\underbrace{3+6+9+\cdots 3k}+3k^*=\underbrace{\frac{3}{2}k(k+1)}+3(k+1)$
                                                        HI                                     HI

                                 $=3(k+1)\left( \frac{k}{2}+1\right)=3(k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right))$
                                 $=\frac{3}{2}(k+1) \left( (k+1)+1 \right)=\frac{3}{2}k^*(k^*+1)$.           $\checkmark$

Ya que es la misma $(Ec. 3)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                    $\therefore3+6+9+\cdots +3n= \frac{3}{2}n(n+1).$