Ejercicios sobre Inducción Matemática I.

En  esta entrada se estudian ejercicios clásicos de inducción matemática.Se intenta dar claridad al desarrollo de los problemas. En todos los casos se toma     $\mathbb{N}=\{1, 2, 3, ... \}.$


Ejercicio 1. Demostrar que $1+2+3+\cdots +n= \frac{1}{2}n(n+1).$        $(Ec. 1)$

Demostración:
         Para $n=1$, tenemos   $1=\frac{1}{2}(1)(1+1)=\frac{1}{2}(1)(2)=1.$       $\checkmark$

Supongamos ahora que la proposición se cumple para $n=k$, es decir supongamos que la proposición
         
                       $1+2+3+\cdots +k = \frac{1}{2}k(k+1)$  es verdadera, esta es nuestra Hipótesis de Inducción, que indicamos como HI,  es decir, suponemos
                     
          HI             $1+2+3+\cdots +k = \frac{1}{2}k(k+1)$                 $\checkmark$  

Nos queda por probar  que

   $1+2+3+\cdots +k^* = \frac{1}{2}k^*(k^*+1)$    es verdadera, esta es nuestra Tesis de Inducción que indicamos como TI, es decir, nos falta por probar

  TI               $1+2+3+\cdots +k^* = \frac{1}{2}k^*(k^*+1)$              $\checkmark$.

Prueba:

  $1+2+3+\cdots +k^*=\underbrace{1+2+3+\cdots +k}+k^*=\underbrace{\frac{1}{2}k(k+1)}+(k+1)$
                                                          HI                                   HI

                                 $=\frac{k}{2}(k+1)+1\cdot(k+1)=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=(k+1)(\frac{k+2}{2})$
                                 $=(k+1) \left( \frac{(k+1)+1}{2} \right)=\frac{1}{2}k^*(k^*+1)$.           $\checkmark$

Ya que es la misma $(Ec. 1)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                           $\therefore 1+2+3+\cdots +n= \frac{1}{2}n(n+1).$


Ejercicio 2.  Demostrar  $ 2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$                           $(Ec. 2)$

Demostración:

           Para $n=1$, tenemos  $2\cdot 1=1\cdot (1+1)=1\cdot 2=2.$                $\checkmark$

 HI                   Para $n=k$, suponemos  $ 2+4+6+\cdots +2k=k(k+1).$                $\checkmark$

          Nos queda probar que

 TI                           Para $n=k^*$,   $ 2+4+6+\cdots +2k^*=k^*(k^*+1).$   

Prueba:

$ 2+4+6+\cdots +2k^*=2+4+6+\cdots +2k+2k^*= \underbrace{2+4+6+\cdots +2k}+2k^*$
                                                                                                             HI  

                                  $=\underbrace{k(k+1)}+2(k+1)=(k+1)(k+2)=k^*(k^*+1).$         $\checkmark$
                                            HI 


Ya que es la misma $(Ec. 2)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                        $\therefore  2+4+6+\cdots +2n=n(n+1).$

Ejercicio 3. . Demostrar que $3+6+9+\cdots +3n= \frac{3}{2}n(n+1).$        $(Ec. 3)$

Demostración:
         Para $n=1$, tenemos   $3\cdot 1=\frac{3}{2}(3)(1+1)=\frac{3}{2}(2)=3.$       $\checkmark$

Supongamos ahora que la proposición se cumple para $n=k$,
                   
          HI               $3+6+9+\cdots +3k = \frac{3}{2}k(k+1)$                 $\checkmark$

Nos queda por probar  que

  TI                  $3+6+9+\cdots +3k^* = \frac{3}{2}k^*(k^*+1)$              es verdadera.

Prueba:

 $3+6+9+\cdots +3k^*=\underbrace{3+6+9+\cdots 3k}+3k^*=\underbrace{\frac{3}{2}k(k+1)}+3(k+1)$
                                                        HI                                     HI

                                 $=3(k+1)\left( \frac{k}{2}+1\right)=3(k+1)\left(\frac{k+2}{2}\right))$
                                 $=\frac{3}{2}(k+1) \left( (k+1)+1 \right)=\frac{3}{2}k^*(k^*+1)$.           $\checkmark$

Ya que es la misma $(Ec. 3)$ cuando sustituimos $n$ por $k^*$.

                    $\therefore3+6+9+\cdots +3n= \frac{3}{2}n(n+1).$