Postulados de Peano III.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.

En esta Entrada se revisa la multiplicación de los números naturales aplicando los postulados de Peano, justificando sus diversas leyes: Ley de clausura, ley asociativa, ley conmutativa, ley distributiva,ley de cancelación.


Multiplicación sobre $\mathbb{N}$.
 La multiplicación se define por

 iii)   $n\cdot1=n$.
iv)    $n\cdot m^*=n\cdot m+n$    siempre que   $n\cdot m$   esté definido.

La multiplicación esta regida por las leyes:
                               
                                  $\forall m,n,p \in \mathbb{N}$,

$B_1$  Ley de clausura       $m\cdot n \in \mathbb{N}$

Demostración:
Sea la proposición  $P(n): m\cdot n \in \mathbb{N}$, para cualquier $m$ fijo y $n$ arbitrario.

Entonces  $P(1): m\cdot 1=m$ y tenemos que $P(1)$ es verdadera.

Supongamos  ahora  $P(k): m\cdot k$  verdadera.

Nos falta probar que $P(k^*)$ es verdadera.
Prueba:
                                 $P(k^*): m\cdot k^*= m\cdot k+m$  $\in \mathbb{N}$,
                                 ya que $m\cdot k \in \mathbb{N}$ por nuestra hipótesis de inducción y hemos supuesto $m \in \mathbb{N}$ desde el inicio.

                    $\therefore m\cdot n \in \mathbb{N}$ es verdadera.





Ejercicio preliminar : Demostrar que   $1\cdot n =n\cdot 1$
 Demostración:        Sea $P(n): 1\cdot n=n\cdot 1$
Tenemos que                  $P(1): 1\cdot 1=1\cdot 1$ es verdadera,
supongamos  ahora que $P(k): 1\cdot k=k\cdot 1$ es verdadera,
entonces      $P(k^*): 1\cdot k^*= 1\cdot k+1=k\cdot 1+1=k+1=k^*=k^*\cdot 1$ es verdadera.
                     $\therefore n\cdot 1=1\cdot n$ es verdadera.
                     $ \therefore n\cdot 1=1\cdot n=n$ es verdadera

$B_2$  Ley distributiva de la multiplicación sobre la suma por la derecha .                                                                             $ (m+p)\cdot n=m\cdot n+p\cdot n$.

Demostración: Sea   $P(n):  (m+p)\cdot n=m\cdot n+p\cdot n$.

Como    $P(1):  (m+p)\cdot 1=m+p=m\cdot 1+p\cdot 1$, tenemos que  $P(1)$ es verdadera,

supongamos ahora que  $P(k):(m+p)\cdot k=m\cdot k+p\cdot k$   es verdadera,

nos queda por probar que  $P(k^*)$  es verdadera.

Prueba:  $P(k^*):  (m+p)\cdot k^*=(m+p)\cdot k+(m+p)=m\cdot k+p\cdot k+m+p$

                                                  $ =(m\cdot k+m)+(p\cdot k+p)=m\cdot k^*+p\cdot k^*$,

y encontramos  que  $P(k^*)$   es verdadera,

                               $\therefore (m+p)\cdot n= m\cdot n+p\cdot n$  es verdadera.




$B_3$ Ley conmutativa   $n\cdot m=m\cdot n$.

Demostración:  Sea  $P(m): n\cdot m=m\cdot n$,  para cualquier  $n$ fijo y  $m$ arbitrario.

Tenemos que          $P(1): n\cdot 1=1\cdot n$  es verdadera ,

supongamos  ahora que  $P(k): n\cdot k=k\cdot n$  es verdadera,

Nos queda por probar que  $P(k^*): n\cdot k^*=k^*\cdot n$  es verdadera.

Prueba:   $P(k^*): n\cdot k^*=n\cdot k +n=k\cdot n+1\cdot n=(k+1)\cdot n=k^*\cdot n$  es verdadera.

                        $\therefore n\cdot m=m\cdot n$ es verdadera.






$B_4$   Ley distributiva del producto sobre la suma por la izquierda 

                     $m\cdot (n+p)=m\cdot n+ m\cdot p$.

Demostración:        Sea  $P(m): m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p$.

Como         $P(1): 1\cdot (n+p)=n+p=1\cdot n+1\cdot p$  es verdadera,

podemos suponer que  $P(k): k\cdot (n+p)= k\cdot n+k\cdot p$  es verdadera.

Tenemos ahora que probar que  $P(k^*)$  es verdadera.

Prueba:
  $P(k^*): k^*\cdot (n+p)= (k+1)\cdot (n+p)=k\cdot(n+p)+1\cdot(n+p)$       (aplicar $B_2$)

                                                 $=k\cdot n+k\cdot p+n+p=(k\cdot n+n)+(k\cdot p+p)$

                                                 $=(k\cdot n+1\cdot n)+(k\cdot p+1\cdot p)$   (aplicar $B_2$)

                                                 $=(k+1)\cdot n+(k+1)\cdot p$

                                                 $=k^*\cdot n+k^*\cdot p$,  es verdadera.

                     $\therefore m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p$  es verdadera.






$B_5$  Ley asociativa    $m\cdot (n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p.$

Demostración: Sea  $P(p): m\cdot (m\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p.$

Como  $P(1): m\cdot(n\cdot 1)=m\cdot n=(m\cdot n) \cdot 1$  es verdadera,

podemos suponer que

          $P(k): m\cdot(n\cdot k)=(m\cdot n) \cdot k$  es verdadera.

Nos queda por probar que $P(k^*): m\cdot (n\cdot k^*)=(m\cdot n)\cdot k^*$ es verdadera.

Prueba:   $P(k^*):m\cdot (n\cdot k^*)=m\cdot (n \cdot k+n)$.      (aplicar $B_4$)
                                                         $=m\cdot (n\cdot k)+m\cdot n$
                                                         $=(m\cdot n)\cdot k+(m\cdot n)\cdot 1$
                                                         $=(m\cdot n)(k+1)=(m\cdot n)\cdot k^*$ es verdadera.

             $\therefore m\cdot (n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p$.


$B_6$  Ley de cancelación  Si  $m\cdot p=n\cdot p$,  entonces  $m=n$.

Demostración: Sea  $P(p)$:   $m\cdot p=n\cdot p$.

Como   $P(1)$ es     $m\cdot 1=n\cdot 1$,  entonces  $m=n$,

tenemos que $P(1)$  es verdadera.

Supongamos ahora que  $P(k)$  es verdadera, es decir, supongamos que

                         $m\cdot k=n\cdot k$.

Nos queda por probar que  $P(k^*)$: Si $m\cdot k^*=n\cdot k^*$,  entonces  $m=n$ .

Prueba:
                                Si  $m\cdot k^*=n\cdot k^*$,  entonces   $m\cdot k+m=n\cdot k+n.$ .

                                Si  $m\cdot k+m=n\cdot k+n$, entonces $m=n$  es verdadera,

                                              ya que si   $m\cdot k=n\cdot k$  podemos aplicar $A_4$
                             
                              $\therefore$ Si $m\cdot p=n\cdot p$, entonces $m=n$ .