Postulados de Peano I

Postulados de Peano.

Sea un conjunto no vacío $\mathbb{N}$ tal que
Postulado I: $1 \in \mathbb{N}$.
Postulado II: $ \ \forall n  \in  \mathbb{N},  \ \exists$ un único $n^* \ \in \ \mathbb{N}$, llamado siguiente de $n$.
Postulado III:$ \ \forall n \in \mathbb{N}$ se tiene $n^* \neq 1$.
Postulado IV: Si $m,\ n \in \mathbb{N}$ y $m^* = n^*$, entonces $m=n$.
Postulado V: Todo subconjunto $K$ de $\mathbb{N}$ que tenga las propiedades
                                  a)  $1\in K$
                                  b)  $k^* \in K$ siempre que $k \in K$
                       es el mismo $\mathbb{N}$.
Nota. El establecimiento del Postulado II nos permite definir $n^*=n+1, \forall n\in \mathbb{N}$.

Nos damos cuenta a partir de los Postulados de I y III que el número 1  es el primer elemento del conjunto $\mathbb{N}$, el conjunto de los números naturales, que podemos visualizar de la siguiente manera:

                $\mathbb{N}$={1, $1^*$, $1^{**}$, $1^{***}$, $\cdots$}={1,2,3,4, $\cdots$}


Ejercicio. Utilizando los postulados de Peano vamos a demostrar que

                                  $ m^* \neq m, \forall m \in \mathbb{N}$.

Entonces, sea la proposición

                                $P(m): m^* \neq m, \forall m \in \mathbb{N}$.

Con esto queremos decir que nuestra variable $m$, va tomar todos sus valores de $\mathbb{N}$.

Así tenemos,
                             $P(1): 1^* \neq 1$  es verdadero por el Postulado III,

                             $P(2): 2^* \neq 2$ es verdadero porque $2^*$ es el siguiente de 2,
                                        es decir, $2^*=3 \neq 2$,

                              $P(3): 3^* \neq 3$ es verdadero porque $3^*$ es el siguiente de 3,
                                        es decir, $3^*=4 \neq 3$,

encontramos que $P(m)$ se cumple para los primeros valores de $\mathbb{N}$, sin embargo, ¿se cumplirá para valores mayores?,  ¿se cumplirá para $n=1000$?, ¿para $n=10 000$?, ¿para $n=50 000$?.
Junto con la imposibilidad de revisar uno por uno todos los valores, nos topamos también con el hecho de que por grande que sea el número que hayamos revisado, siempre hay uno más grande por revisar.
Para intentar una solución  definimos un conjunto $A$ de la siguiente manera:

                                            $A$={x: x $\in$  $\mathbb{N}$, $P(k)$ es verdadero}.
Como
                             $1\in \mathbb{N}$                                          (Postulado I)

y                           $P(1)$ es cierto                               (Postulado III),

entonces,                           $ 1\in A$.

Sea ahora  $k$ cualquier elemento de $A$,
tenemos  que    
                                        $k \in \mathbb{N}$  y  $P(k)$ es verdadero.
Es decir,
                                        $k \in \mathbb{N}$  y  $ k^* \neq k.$

Si $k \in\mathbb{N}$, entonces $k^*\in \mathbb{N}.$                    (Postulado II)

Si $k^* \neq k$, entonces $(k^*)^*\neq(k^*)$,

y tenemos que

                             $P(k^*): (k^*)^* \neq (k^*)$ es verdadero.

Hemos encontrado que

                                   $k^* \in \mathbb{N}$  y  $P(k^*)$ es verdadero,

entonces

                                        $k^* \in A$.
Como

            $1\in A$ y   $k^* \in A$ siempre que $k \in A$,

entonces     $A=\mathbb{N}$.                                                   (Postulado V)


       $\therefore$  $P(m): m^* \neq m, \forall m \in \mathbb{N}$ es válida $\forall m\in \mathbb{N}.$

Podemos hacer dos anotaciones con respecto del Ejercicio anterior:
-Primera: no necesitamos revisar $P(m)$ para cada uno de los valores de $\mathbb{N}$, puesto que $k$ es un elemento cualquiera de $\mathbb{N}$ y sin embargo, como vimos, $P(m)$ se cumple $\forall n \in \mathbb{N}$,
-Segunda: por grande que sea $m \in \mathbb{N}$,  hemos demostrado que $P(m)$ se cumple para el siguiente de $m$.

Al establecer la validez de la proposición anterior, hemos probado al mismo tiempo el

Principio de inducción matemática:

Una proposición $P(m)$ es cierta $\forall m \in \mathbb{N}$ siempre que:

                                                     $P(1)$ sea cierto

y que $\forall   k  \in \mathbb{N}$,       $P(k)$ cierto implique  $P(k^*)$ cierto.