Postulados de Peano II.

Operaciones con números naturales.

Adición sobre $\mathbb{N}$.

i)    $n+1=n^*$     $\forall n \in \mathbb{N}$.

ii)  $n+m^*=(n+m)^*$  siempre que $n+m$ esté definido.

La adición está regida por la siguientes leyes:

             $\forall$ $ m,n,p \in \mathbb{N}$,

$A_1$. Ley de clausura:   $n+m$  $\in$  $\mathbb{N}.$

Demostración:

Sea la proposición

                    $P(m):$     $n+m$ $\in$  $\mathbb{N}$.

Entonces:     $P(1):$      $n+1$  $\in$   $\mathbb{N}$.    (Postulado II)

Supongamos ahora que para algún $k$ $\in$ $\mathbb{N}$

                     $P(k):$      $n+k$  $\in$   $\mathbb{N}$ es cierto.

Como           $P(k^*):$      $n+k^*=(n+k)^*$  $\in$   $\mathbb{N}$ es cierto.   (Postulado II)

Tenemos que $P(m)$ es válido $\forall$ $m$ $\in$  $\mathbb{N}$,

y como $n$ $\in$ $\mathbb{N}$ es arbitrario concluimos que $A_1$ es válida $\forall$ $m,n$ $\in$  $\mathbb{N}.$

$A_2$. Ley asociativa:   $n+(m+p)=(n+m)+p$.

Demostración:

Sea la proposición     $P(p): n+(m+p)=(n+m)+p$, para cualquier $p \in \mathbb{N}$, con $m,n, \in \mathbb{N}$ arbitrarios. 

Entonces, para $n=1$ tenemos

                   $P(1): n+(m+1)=n+m^*=(n+m)^*=(n+m)+1$ , y vemos que $P(1)$ es cierto.

Ahora supongamos que $P(k)$ es cierto para algún $k \in \mathbb{N}$, es decir, suponemos que   

                                   $P(k): n+(m+k)=(n+m)+k$            es cierto.

Nos queda ahora por probar que

                       $P(k^*): n+(m+k^*)=(n+m)+k^*$ es verdadero.

Prueba:
                                   $P(k^*): n+(m+k^*)=n+(m+k)^*=[n+(m+k)]^*$,

pero $P(k)$ nos permite sustituir $n+(m+k)$ por $(n+m)+k$, entonces $P(k^*)$ toma la forma

          $P(k^*): n+(m+k^*)=n+(m+k)^*=[n+(m+k)]^*=[(n+m)+k]^*=(n+m)+k^*$.

Tenemos de esta manera que $P(p)$ es válida y como $m$ y $n$ son arbitrarios,

                              $n+(m+p)=(n+m)+p$

es válida par todos los números naturales.
   
Ejercicio preliminar: Demostrar que           $n+1=1+n$.
Demostración:  Sea                               $P(n): n+1=1+n$,
Entonces:                                             $P(1): 1+1=1+1,$ es verdadera.
Supongamos que para algún                 $k \in\mathbb{N}$,
                                                           $P(k): k+1=1+k$ es verdadera.
Tenemos  que                            $P(k^*): k^*+1=(k+1)+1=(1+k)+1=1+(k+1)=1+k^*$ es verdadera.
                                                         $\therefore n+1=1+n$.

$A_3$. Ley conmutativa:  $n+m=m+n$.

Demostración:   Sea $P(m): n+m=m+n$.

Entonces     $P(1): n+1=1+n$ es verdadera. 
        
Supongamos que para algún       $k \in\mathbb{N}$,
                  $P(k): n+k=k+n$  es verdadera.

Tenemos  que      $P(k^*): n+k^*=(n+k)^*=(k+n)^*=k+n^*$ 
                                                  $=k+(n+1)=k+(1+n)=(k+1)+n=k^*+n$ es verdadera,
                                                         $\therefore n+m=m+n$.

$A_4$. Ley de cancelación:  Si $m+p=n+p$, entonces $m=n$.

Demostración:   Hagamos $P(p)$:  Si $m+p=n+p$, entonces $m=n$.

Sea      $P(1)$: Si  $m+1=n+1$, entonces $m=n$,

entonces $P(1)$ la podemos escribir como

            $P(1)$: Si $m^*=n^*$, entonces $m=n$  (Postulado IV),

y tenemos que $P(1)$ es verdadera.

Ahora supongamos que 
                    $P(k)$: Si $m+k=n+k$ , entonces $m=n$ es verdadera.

Nos queda por demostrar que $P(k^*)$ es verdadera.

Demostración:

Tengamos  
                   $P(k^*)$: Si $m+k^*=n+k^*$, entonces $(m+k)^*=(n+k)^*$,
                               
                                 Si $(m+k)^*=(n+k)^*$, entonces $m+k=n+k$,

                                Si $m+k=n+k$, entonces $m=n$.

Y encontramos que $P(k^*)$ es verdadera,

                 $\therefore $ Si $m+p=n+p$, entonces $m=n$, es verdadera.