Postulados de Peano III.

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES.

En esta Entrada se revisa la multiplicación de los números naturales aplicando los postulados de Peano, justificando sus diversas leyes: Ley de clausura, ley asociativa, ley conmutativa, ley distributiva,ley de cancelación.


Multiplicación sobre $\mathbb{N}$.
 La multiplicación se define por

 iii)   $n\cdot1=n$.
iv)    $n\cdot m^*=n\cdot m+n$    siempre que   $n\cdot m$   esté definido.

La multiplicación esta regida por las leyes:
                               
                                  $\forall m,n,p \in \mathbb{N}$,

$B_1$  Ley de clausura       $m\cdot n \in \mathbb{N}$

Demostración:
Sea la proposición  $P(n): m\cdot n \in \mathbb{N}$, para cualquier $m$ fijo y $n$ arbitrario.

Entonces  $P(1): m\cdot 1=m$ y tenemos que $P(1)$ es verdadera.

Supongamos  ahora  $P(k): m\cdot k$  verdadera.

Nos falta probar que $P(k^*)$ es verdadera.
Prueba:
                                 $P(k^*): m\cdot k^*= m\cdot k+m$  $\in \mathbb{N}$,
                                 ya que $m\cdot k \in \mathbb{N}$ por nuestra hipótesis de inducción y hemos supuesto $m \in \mathbb{N}$ desde el inicio.

                    $\therefore m\cdot n \in \mathbb{N}$ es verdadera.





Ejercicio preliminar : Demostrar que   $1\cdot n =n\cdot 1$
 Demostración:        Sea $P(n): 1\cdot n=n\cdot 1$
Tenemos que                  $P(1): 1\cdot 1=1\cdot 1$ es verdadera,
supongamos  ahora que $P(k): 1\cdot k=k\cdot 1$ es verdadera,
entonces      $P(k^*): 1\cdot k^*= 1\cdot k+1=k\cdot 1+1=k+1=k^*=k^*\cdot 1$ es verdadera.
                     $\therefore n\cdot 1=1\cdot n$ es verdadera.
                     $ \therefore n\cdot 1=1\cdot n=n$ es verdadera

$B_2$  Ley distributiva de la multiplicación sobre la suma por la derecha .                                                                             $ (m+p)\cdot n=m\cdot n+p\cdot n$.

Demostración: Sea   $P(n):  (m+p)\cdot n=m\cdot n+p\cdot n$.

Como    $P(1):  (m+p)\cdot 1=m+p=m\cdot 1+p\cdot 1$, tenemos que  $P(1)$ es verdadera,

supongamos ahora que  $P(k):(m+p)\cdot k=m\cdot k+p\cdot k$   es verdadera,

nos queda por probar que  $P(k^*)$  es verdadera.

Prueba:  $P(k^*):  (m+p)\cdot k^*=(m+p)\cdot k+(m+p)=m\cdot k+p\cdot k+m+p$

                                                  $ =(m\cdot k+m)+(p\cdot k+p)=m\cdot k^*+p\cdot k^*$,

y encontramos  que  $P(k^*)$   es verdadera,

                               $\therefore (m+p)\cdot n= m\cdot n+p\cdot n$  es verdadera.




$B_3$ Ley conmutativa   $n\cdot m=m\cdot n$.

Demostración:  Sea  $P(m): n\cdot m=m\cdot n$,  para cualquier  $n$ fijo y  $m$ arbitrario.

Tenemos que          $P(1): n\cdot 1=1\cdot n$  es verdadera ,

supongamos  ahora que  $P(k): n\cdot k=k\cdot n$  es verdadera,

Nos queda por probar que  $P(k^*): n\cdot k^*=k^*\cdot n$  es verdadera.

Prueba:   $P(k^*): n\cdot k^*=n\cdot k +n=k\cdot n+1\cdot n=(k+1)\cdot n=k^*\cdot n$  es verdadera.

                        $\therefore n\cdot m=m\cdot n$ es verdadera.






$B_4$   Ley distributiva del producto sobre la suma por la izquierda 

                     $m\cdot (n+p)=m\cdot n+ m\cdot p$.

Demostración:        Sea  $P(m): m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p$.

Como         $P(1): 1\cdot (n+p)=n+p=1\cdot n+1\cdot p$  es verdadera,

podemos suponer que  $P(k): k\cdot (n+p)= k\cdot n+k\cdot p$  es verdadera.

Tenemos ahora que probar que  $P(k^*)$  es verdadera.

Prueba:
  $P(k^*): k^*\cdot (n+p)= (k+1)\cdot (n+p)=k\cdot(n+p)+1\cdot(n+p)$       (aplicar $B_2$)

                                                 $=k\cdot n+k\cdot p+n+p=(k\cdot n+n)+(k\cdot p+p)$

                                                 $=(k\cdot n+1\cdot n)+(k\cdot p+1\cdot p)$   (aplicar $B_2$)

                                                 $=(k+1)\cdot n+(k+1)\cdot p$

                                                 $=k^*\cdot n+k^*\cdot p$,  es verdadera.

                     $\therefore m\cdot (n+p)=m\cdot n+m\cdot p$  es verdadera.






$B_5$  Ley asociativa    $m\cdot (n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p.$

Demostración: Sea  $P(p): m\cdot (m\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p.$

Como  $P(1): m\cdot(n\cdot 1)=m\cdot n=(m\cdot n) \cdot 1$  es verdadera,

podemos suponer que

          $P(k): m\cdot(n\cdot k)=(m\cdot n) \cdot k$  es verdadera.

Nos queda por probar que $P(k^*): m\cdot (n\cdot k^*)=(m\cdot n)\cdot k^*$ es verdadera.

Prueba:   $P(k^*):m\cdot (n\cdot k^*)=m\cdot (n \cdot k+n)$.      (aplicar $B_4$)
                                                         $=m\cdot (n\cdot k)+m\cdot n$
                                                         $=(m\cdot n)\cdot k+(m\cdot n)\cdot 1$
                                                         $=(m\cdot n)(k+1)=(m\cdot n)\cdot k^*$ es verdadera.

             $\therefore m\cdot (n\cdot p)=(m\cdot n)\cdot p$.


$B_6$  Ley de cancelación  Si  $m\cdot p=n\cdot p$,  entonces  $m=n$.

Demostración: Sea  $P(p)$:   $m\cdot p=n\cdot p$.

Como   $P(1)$ es     $m\cdot 1=n\cdot 1$,  entonces  $m=n$,

tenemos que $P(1)$  es verdadera.

Supongamos ahora que  $P(k)$  es verdadera, es decir, supongamos que

                         $m\cdot k=n\cdot k$.

Nos queda por probar que  $P(k^*)$: Si $m\cdot k^*=n\cdot k^*$,  entonces  $m=n$ .

Prueba:
                                Si  $m\cdot k^*=n\cdot k^*$,  entonces   $m\cdot k+m=n\cdot k+n.$ .

                                Si  $m\cdot k+m=n\cdot k+n$, entonces $m=n$  es verdadera,

                                              ya que si   $m\cdot k=n\cdot k$  podemos aplicar $A_4$
                             
                              $\therefore$ Si $m\cdot p=n\cdot p$, entonces $m=n$ .


                             

Postulados de Peano II.

Operaciones con números naturales.

Adición sobre $\mathbb{N}$.

i)    $n+1=n^*$     $\forall n \in \mathbb{N}$.

ii)  $n+m^*=(n+m)^*$  siempre que $n+m$ esté definido.

La adición está regida por la siguientes leyes:

             $\forall$ $ m,n,p \in \mathbb{N}$,

$A_1$. Ley de clausura:   $n+m$  $\in$  $\mathbb{N}.$

Demostración:

Sea la proposición

                    $P(m):$     $n+m$ $\in$  $\mathbb{N}$.

Entonces:     $P(1):$      $n+1$  $\in$   $\mathbb{N}$.    (Postulado II)

Supongamos ahora que para algún $k$ $\in$ $\mathbb{N}$

                     $P(k):$      $n+k$  $\in$   $\mathbb{N}$ es cierto.

Como           $P(k^*):$      $n+k^*=(n+k)^*$  $\in$   $\mathbb{N}$ es cierto.   (Postulado II)

Tenemos que $P(m)$ es válido $\forall$ $m$ $\in$  $\mathbb{N}$,

y como $n$ $\in$ $\mathbb{N}$ es arbitrario concluimos que $A_1$ es válida $\forall$ $m,n$ $\in$  $\mathbb{N}.$

$A_2$. Ley asociativa:   $n+(m+p)=(n+m)+p$.

Demostración:

Sea la proposición     $P(p): n+(m+p)=(n+m)+p$, para cualquier $p \in \mathbb{N}$, con $m,n, \in \mathbb{N}$ arbitrarios. 

Entonces, para $n=1$ tenemos

                   $P(1): n+(m+1)=n+m^*=(n+m)^*=(n+m)+1$ , y vemos que $P(1)$ es cierto.

Ahora supongamos que $P(k)$ es cierto para algún $k \in \mathbb{N}$, es decir, suponemos que   

                                   $P(k): n+(m+k)=(n+m)+k$            es cierto.

Nos queda ahora por probar que

                       $P(k^*): n+(m+k^*)=(n+m)+k^*$ es verdadero.

Prueba:
                                   $P(k^*): n+(m+k^*)=n+(m+k)^*=[n+(m+k)]^*$,

pero $P(k)$ nos permite sustituir $n+(m+k)$ por $(n+m)+k$, entonces $P(k^*)$ toma la forma

          $P(k^*): n+(m+k^*)=n+(m+k)^*=[n+(m+k)]^*=[(n+m)+k]^*=(n+m)+k^*$.

Tenemos de esta manera que $P(p)$ es válida y como $m$ y $n$ son arbitrarios,

                              $n+(m+p)=(n+m)+p$

es válida par todos los números naturales.
   
Ejercicio preliminar: Demostrar que           $n+1=1+n$.
Demostración:  Sea                               $P(n): n+1=1+n$,
Entonces:                                             $P(1): 1+1=1+1,$ es verdadera.
Supongamos que para algún                 $k \in\mathbb{N}$,
                                                           $P(k): k+1=1+k$ es verdadera.
Tenemos  que                            $P(k^*): k^*+1=(k+1)+1=(1+k)+1=1+(k+1)=1+k^*$ es verdadera.
                                                         $\therefore n+1=1+n$.

$A_3$. Ley conmutativa:  $n+m=m+n$.

Demostración:   Sea $P(m): n+m=m+n$.

Entonces     $P(1): n+1=1+n$ es verdadera. 
        
Supongamos que para algún       $k \in\mathbb{N}$,
                  $P(k): n+k=k+n$  es verdadera.

Tenemos  que      $P(k^*): n+k^*=(n+k)^*=(k+n)^*=k+n^*$ 
                                                  $=k+(n+1)=k+(1+n)=(k+1)+n=k^*+n$ es verdadera,
                                                         $\therefore n+m=m+n$.

$A_4$. Ley de cancelación:  Si $m+p=n+p$, entonces $m=n$.

Demostración:   Hagamos $P(p)$:  Si $m+p=n+p$, entonces $m=n$.

Sea      $P(1)$: Si  $m+1=n+1$, entonces $m=n$,

entonces $P(1)$ la podemos escribir como

            $P(1)$: Si $m^*=n^*$, entonces $m=n$  (Postulado IV),

y tenemos que $P(1)$ es verdadera.

Ahora supongamos que 
                    $P(k)$: Si $m+k=n+k$ , entonces $m=n$ es verdadera.

Nos queda por demostrar que $P(k^*)$ es verdadera.

Demostración:

Tengamos  
                   $P(k^*)$: Si $m+k^*=n+k^*$, entonces $(m+k)^*=(n+k)^*$,
                               
                                 Si $(m+k)^*=(n+k)^*$, entonces $m+k=n+k$,

                                Si $m+k=n+k$, entonces $m=n$.

Y encontramos que $P(k^*)$ es verdadera,

                 $\therefore $ Si $m+p=n+p$, entonces $m=n$, es verdadera.

Postulados de Peano I

Postulados de Peano.

Sea un conjunto no vacío $\mathbb{N}$ tal que
Postulado I: $1 \in \mathbb{N}$.
Postulado II: $ \ \forall n  \in  \mathbb{N},  \ \exists$ un único $n^* \ \in \ \mathbb{N}$, llamado siguiente de $n$.
Postulado III:$ \ \forall n \in \mathbb{N}$ se tiene $n^* \neq 1$.
Postulado IV: Si $m,\ n \in \mathbb{N}$ y $m^* = n^*$, entonces $m=n$.
Postulado V: Todo subconjunto $K$ de $\mathbb{N}$ que tenga las propiedades
                                  a)  $1\in K$
                                  b)  $k^* \in K$ siempre que $k \in K$
                       es el mismo $\mathbb{N}$.
Nota. El establecimiento del Postulado II nos permite definir $n^*=n+1, \forall n\in \mathbb{N}$.

Nos damos cuenta a partir de los Postulados de I y III que el número 1  es el primer elemento del conjunto $\mathbb{N}$, el conjunto de los números naturales, que podemos visualizar de la siguiente manera:

                $\mathbb{N}$={1, $1^*$, $1^{**}$, $1^{***}$, $\cdots$}={1,2,3,4, $\cdots$}


Ejercicio. Utilizando los postulados de Peano vamos a demostrar que

                                  $ m^* \neq m, \forall m \in \mathbb{N}$.

Entonces, sea la proposición

                                $P(m): m^* \neq m, \forall m \in \mathbb{N}$.

Con esto queremos decir que nuestra variable $m$, va tomar todos sus valores de $\mathbb{N}$.

Así tenemos,
                             $P(1): 1^* \neq 1$  es verdadero por el Postulado III,

                             $P(2): 2^* \neq 2$ es verdadero porque $2^*$ es el siguiente de 2,
                                        es decir, $2^*=3 \neq 2$,

                              $P(3): 3^* \neq 3$ es verdadero porque $3^*$ es el siguiente de 3,
                                        es decir, $3^*=4 \neq 3$,

encontramos que $P(m)$ se cumple para los primeros valores de $\mathbb{N}$, sin embargo, ¿se cumplirá para valores mayores?,  ¿se cumplirá para $n=1000$?, ¿para $n=10 000$?, ¿para $n=50 000$?.
Junto con la imposibilidad de revisar uno por uno todos los valores, nos topamos también con el hecho de que por grande que sea el número que hayamos revisado, siempre hay uno más grande por revisar.
Para intentar una solución  definimos un conjunto $A$ de la siguiente manera:

                                            $A$={x: x $\in$  $\mathbb{N}$, $P(k)$ es verdadero}.
Como
                             $1\in \mathbb{N}$                                          (Postulado I)

y                           $P(1)$ es cierto                               (Postulado III),

entonces,                           $ 1\in A$.

Sea ahora  $k$ cualquier elemento de $A$,
tenemos  que    
                                        $k \in \mathbb{N}$  y  $P(k)$ es verdadero.
Es decir,
                                        $k \in \mathbb{N}$  y  $ k^* \neq k.$

Si $k \in\mathbb{N}$, entonces $k^*\in \mathbb{N}.$                    (Postulado II)

Si $k^* \neq k$, entonces $(k^*)^*\neq(k^*)$,

y tenemos que

                             $P(k^*): (k^*)^* \neq (k^*)$ es verdadero.

Hemos encontrado que

                                   $k^* \in \mathbb{N}$  y  $P(k^*)$ es verdadero,

entonces

                                        $k^* \in A$.
Como

            $1\in A$ y   $k^* \in A$ siempre que $k \in A$,

entonces     $A=\mathbb{N}$.                                                   (Postulado V)


       $\therefore$  $P(m): m^* \neq m, \forall m \in \mathbb{N}$ es válida $\forall m\in \mathbb{N}.$

Podemos hacer dos anotaciones con respecto del Ejercicio anterior:
-Primera: no necesitamos revisar $P(m)$ para cada uno de los valores de $\mathbb{N}$, puesto que $k$ es un elemento cualquiera de $\mathbb{N}$ y sin embargo, como vimos, $P(m)$ se cumple $\forall n \in \mathbb{N}$,
-Segunda: por grande que sea $m \in \mathbb{N}$,  hemos demostrado que $P(m)$ se cumple para el siguiente de $m$.

Al establecer la validez de la proposición anterior, hemos probado al mismo tiempo el

Principio de inducción matemática:

Una proposición $P(m)$ es cierta $\forall m \in \mathbb{N}$ siempre que:

                                                     $P(1)$ sea cierto

y que $\forall   k  \in \mathbb{N}$,       $P(k)$ cierto implique  $P(k^*)$ cierto.