Ejercicios de inducción matemática II

Continuamos resolviendo problemas de inducción matemática, con $\mathbb{N}= \{1,2,3,...\}. $

Ejercicio 4. Demostrar,  para $a$, $d$ fijos y $n$ variable

                          $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(n-1)d \right)= \frac{n}{2}\left(2a+(n-1)d \right).$

Demostración:

Para:   $n=1$,         $a+(1-1)d= \frac{1}{2}\left(2a+(1-1)d \right)$
                             
                                           $a=a$.                                                      $\checkmark$  

          $n=k$,
  HI        $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k-1)d \right)= \frac{k}{2}\left(2a+(k-1)d \right).$ $\checkmark$


         $n=k^*$,

TI     $a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k^*-1)d \right)=\underbrace{a+(a+d)+(a+2d)+\cdots+\left(a+(k-1)d \right)}+\left(a+(k^*-1)d \right)$                                                                                                                           HI


                                                                          $=\underbrace{\frac{k}{2}\left(2a+(k-1)d \right)}+\left(a+(k^*-1)d \right)$                                                                                            HI


                                                  $=\frac{k\left(2a+(k-1)d \right)+2\left(a+(k^*-1)d \right)}{2}$

                                                  $=\frac{k\left(2a+(k-1)d \right)+2\left(a+\left((k+1)-1\right)d \right)}{2}$

                                                  $=\frac{k\left(2a+kd-d \right)+2\left(a+kd \right)}{2}$
                                                                             
                                                   $=\frac{k2a+k^2d-kd +2a+2kd }{2}$

                                                  $=\frac{k2a+2a+k^2d+kd }{2}$

                                                  $=\frac{\left(k+1\right)2a+kd\left(k+1\right) }{2}$

                                                  $=\frac{\left(k+1\right)\left(2a+kd\right) }{2}$
                                                                        $=\frac{\left(k+1\right)\left[2a+\left(\left(k+1\right)-1\right)d\right] }{2}$

                                                  $=\frac{k^* \left[2a+\left(k^*-1\right)\right]d}{2}$      $\checkmark$



Ejercicio 5. Demostrar       $2+2^2+2^3+\cdots2^n=2\left(2^n-1\right).$

Para:  $n=1$,             $2^1=2\left(2^1-1\right)=2\left(2-1\right)=2\cdot 1=2.$            $\checkmark$

 HI   $n=k$,    $2+2^2+2^3+\cdots2^k=2\left(2^k-1\right).$  $\checkmark$                                                                                 

TI    $n=k^*$          $2+2^2+2^3+\cdots2^{k^*}=2\left(2^{k^*}-1\right).$                  


Prueba:             $2+2^2+2^3+\cdots2^{k^*}=\underbrace{2+2^2+2^3+\cdots2^k}+2^{k^*}$
                                                               HI
                                                                     $=\underbrace{2\left(2^k-1\right)}+2^{k^*}$
                                                                                  HI
                                                                     $=2^{k+1}-2+2^{k+1}$

                                                                     $=2\cdot 2^{k+1}-2$
                                                                 
                                                                     $=2\left( 2^{k^*}-1\right).$           $\checkmark$

Ejercicio 6.  Demostrar:

   $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}.$  

Para:    $n=1$,        $\frac{1}{2^{1-1}}= 2-\frac{1}{2^{1-1}}$

                                $\frac{1}{2^0}= 2-\frac{1}{2^0}$ 
                                    
                                   $\frac{1}{1}= 2-\frac{1}{1}$
                              
                                       $1=1.$                            $\checkmark$



       $n=k$
HI           
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}=2-\frac{1}{2^{k-1}}.$
                                                                                       $\checkmark$

     $n=k^*$
TI
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k^*-1}}=2-\frac{1}{2^{k^*-1}}.$

Prueba:
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k^*-1}}=\underbrace{1+\frac{1}       {2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}\cdots+\frac{1}{2^{k-1}}}+\frac{1}{2^{k^*-1}}$

                                                 $=\underbrace{2-\frac{1}{2^{k-1}}} +\frac{1}{2^{k^*-1}}$                                                                                        HI

                                                $=2-\frac{1}{2^k\cdot 2^{-1}} +\frac{1}{2^{\left(k+1\right)-1}}$

                                               $=2-\frac{2}{2^k} +\frac{1}{2^k}$

                                               $=2-\frac{1}{2^k} =2-\frac{1}{2^{\left(k+1\right)-1}}$

                                               $=2-\frac{1}{2^{k^*-1}}$              $\checkmark$

Ejercicio 7. Demostrar 
    
   $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\frac{n^2}{4}\left(n+1\right)^2.$

Demostración:

Para: $n=1$,                $1^3=\frac{1^2}{4}\left(1+1\right)^2$

                                        $1=\frac{1^2}{4}2^2$ 

                                        $1=\frac{1}{4}4$

                                                            $1=1$                         $\checkmark$
HI   
Para $n=k$,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3=\frac{k^2}{4}\left(k+1\right)^2.$    $\checkmark$

                                                                                    
TI
Para $n=k^*$,

$1^3+2^3+3^3+\cdots+\left(k^*\right)^3=\frac{\left(k^*\right)^2}{4}\left(k^*+1\right)^2.$

Demostración:
$1^3+2^3+3^3+\cdots+\left(k^*\right)^3=\underbrace{1^3+2^3+3^3+\cdots+k^3}+\left(k^*\right)^3$ 
                                                                $=\underbrace{\frac{k^2}{4}\left(k+1\right)^2}+\left(k+1\right)^3$
                                                               
                                                               $=\left(k+1\right)^2\left(\frac{k^2}{4}+k+1\right)$

                                                             $=\left(k+1\right)^2 \frac{\left(k^2+4k+4\right)}{4}$

                                                           $=\frac{\left(k+1\right)^2}{4}\left(k+2\right)^2$
                         
                                                          $=\frac{\left(k+1\right)^2}{4}\left(\left(k+1\right)+1\right)$

                                                                                       
                                                                                 $=\frac{\left(k^*\right)^2}{4}\left(k^*+1\right)^2.$          $\checkmark$