En esta entrada se revisan las leyes de los exponentes para números naturales, que en esencia son las mismas que se aplican a los números reales. Dominar estas leyes proporciona una herramienta algebraica inigualable para estudios superiores. Todos los números y todas las variables que aparecen en esta entrada pertenecen al conjunto de los números naturales $\mathbb{N}=\{1,2,3,...,\}.$
Definición: $m^1=m$, $m^{p+1}=m^p\cdot m$
Ejercicio 8. Demostrar: $m^p\cdot m^q=m^{p+q}$.
Demostración: Sea $P(q):m^p\cdot m^q.$
Entonces: $P(1): m^p\cdot m^1=m^p\cdot m=m^{p+1}$, $\checkmark$
HI $m^p\cdot m^k=m^{p+k}$, $\checkmark$
TI $m^p\cdot m^{k^*}=m^{p+k^*}.$
Prueba: $m^p\cdot m^{k^*}=m^p \cdot m^{k+1}$
$=m^p \cdot \left(m^k \cdot m^1\right)$
$=\left(m^p \cdot m^k\right)\cdot m^1$
$=\left(m^{p+k}\right)\cdot m^1$
$=m^{\left(p+k\right)+1}$
$=m^{p+k^*}$. $\checkmark$
Ejercicio 9. Demostrar: $\left(m^p\right)^q=m^{p\cdot q}$.
Demostración: Sea $P(q): \left(m^p\right)^q$.
Entonces: $P(1):\left(m^p\right)^1=m^p=m^{p\cdot 1}.$ $\checkmark$
HI $P(k):\left(m^p\right)^k=m^{p\cdot k}$. $\checkmark$
TI $P(k^*):\left(m^p\right)^{k^*}=m^{p\cdot k^*}$.
Prueba: $\left(m^p\right)^{k^*}=\left(m^p\right)^{k+1}$
$=\left(m^p\right)^k\cdot (m^p)$
$=m^{p\cdot k}\cdot m^p$
$=m^{p\cdot k+p}$
$=m^{p\cdot k^*}.$ $\checkmark$
Ejercicio 10. Demostrar: $(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$
Demostración: Sea $P(p):(m \cdot n )^p=m^p \cdot n^p.$
Entonces: $P(1):(m \cdot n )^1=m \cdot n=m^1 \cdot n^1$ $\checkmark$
HI $P(k):(m \cdot n )^k=m^k \cdot n^k$ $\checkmark$
TI $P(k^*):(m \cdot n )^{k^*}=m^{k^*} \cdot n^{k^*}$
Prueba: $(m \cdot n )^{k^*}=(m \cdot n )^{k+1}$
$=(m \cdot n )^k \cdot (m \cdot n)^1$
$=(m^k \cdot n ^k) \cdot (m^1 \cdot n^1)$
$=(m^k \cdot m ^1) \cdot (n^k \cdot n^1)$
$=m^{k +1} \cdot n^{k +1}$
$=m^{k ^*} \cdot n^{k ^*}.$ $\checkmark$
Ejercicio 11. Demostrar: $(1)^p=1$.
Demostración: Sea $P(p):(1)^p.$
Entonces: $P(1):(1)^1=1$ $\checkmark$
HI $P(k):(1)^k=1$ $\checkmark$
TI $P(k^*):(1)^{k^*}=1$
Prueba: $(1)^{k^*}=(1)^{k+1}$
$=1^k\cdot1^1$
$=1\cdot1$
$=1$.
Nótese la utilización reiterada de lo que se ha ido definiendo en el desarrollo de cada problema. Cómo vamos usando lo ya probado o supuesto verdadero conforme llevamos adelante el razonamiento. Revise con atención cada paso y se dará cuenta de que al avanzar siempre utilizamos una idea anterior de éste o de anteriores ejercicios. Esa es la ventaja y el poder del método, que no necesitamos probar una y otra vez cada problema, sino que podemos utilizar con confianza y precisión lo ya probado para construir un conocimiento sólido que nos permita adentrarnos en las Ciencias Exactas,
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