Interpretación geométrica de las desigualdades ... Continuación 2.

 Interpretación geométrica de las desigualdades ... Continuación 2.

f) Ahora vamos a revisar la desigualdad 

$x^{2}<1$.

Solución. Si hacemos $f1=x^{2}$ y $f2=1$ y las representamos en el plano coordenado, notamos que la desigualdad se cumple en el intervalo $(-1,1)$, como se advierte en la gráfica siguiente:

Si resolvemos formalmente la desigualdad, tenemos

$x^{2}<1$

$x^{2}-1 < 0$

$(x+1)(x-1) < 0$.

Los valores de $x$ que vamos a analizar son los que caen en los intervalos $(-\infty,-1), (-1,1), (1,+\infty)$.

Para el intervalo $(-\infty,-1)$ hacemos $x=-1.1$ y sustituimos en cada uno de los factores, tomando en cuenta el signo en cada factor después de la sustitución, tenemos entonces:

$(-)(-)=(+)$

Como nos piden que la desigualdad sea $<0$ y como el valor que escogimos en este intervalo fue arbitrario, entonces ningún valor de este intervalo cumple con la desigualdad.

En el intervalo $(-1,1)$ escogemos un valor arbitrario, digamos $x=-0.1$ y hacemos un análisis semejante al del intervalo anterior, entonces:

$(+)(-)=(-)$,

vemos entonces que cualquier valor de este intervalo cumple con la desigualdad ya que nos piden sea $<0$.

Para el intervalo $(1,+\infty,)$ hacemos $x=1.5$, y obtenemos

$(+)(+)=(+)$,

y como nos piden que la desigualdad sea $<0$, entonces ningún valor de este intervalo cumple con la desigualdad.

Si ahora graficamos la función $f3=x^{2}-1$ con las dos anteriores vemos que efectivamente $x^{2}-1<0$ en el intervalo $(-1,1)$.