Ejemplo 1. Demostrar que $ x+y $ divide a $\left(x^{2n-1}+y^{2n-1}\right)$.
Entonces, sea
$P(n):(x+y)\mid \left (x^{2n-1}+y^{2n-1}\right)$ $(1)$
la proposición que vamos a demostrar.
Solución:
Primero probamos la proposiciónn $(1)$ para $n=1$.
$ P(1):\frac{x^{2(1)-1} + y^{2(1)-1}}{x+y}=\frac{x^{2-1}+y^{2-1}}{x+y}$
$=\frac{x^1+y^1}{x+y}$
$= \frac{x+y}{x+y}$
$=1$
vemos que la proposiónn $(1)$ sí se cumple para $n=1$.
Ahora establecemos nuestra hipótesis de inducción afirmando que
$P(k):(x+y)\mid \left (x^{2(k)-1}+y^{2(k)-1}\right)$ $(HI)$
es cierta.
Para terminar el problema vamos a demostrar que
$ P(k+1):(x+y)\mid \left (x^{2(k+1)-1}+y^{2(k+1)-1}\right)$ $(H*)$
es cierta.
Tenemos entonces que:
$ \frac{x^{2(k+1)-1}+y^{2(k+1)-1}}{x+y}$ = $ \frac{x^{2k+2-1}+y^{2k+2-1}}{x+y}$
$ =\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}.$
Reacomodando el último cociente obtenemos
$ \frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}$=$\frac{x^{2k+1}-x^{2k}y + x^{2k}y-x^{2k-1}y^{2}+x^{2k-1}y^{2}+y^{2k+1}}{x+y}$ $(2)$
$=\frac{x^{2k+1}-x^{2k-1+1}y+x^{2k}y-x^{2k-1}y^2+x^{2k-1}y^2+y^{2k+1+1-1}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k}x-x^{2k-1}xy+x^{2k}y-x^{2k-1}y^2+x^{2k-1}y^2+y^{2k-1}y^2}{x+y}$
$=\frac{x^{2k}(x+y)-x^{2k-1}y(x+y)+y^2(x^{2k-1}+y^{2k-1})}{x+y}$
$=x^{2k}-x^{2k-1} y+y^2 \frac{x^{2k-1}+y^{2k-1}}{x+y}.$ $(3)$
Proposición que es exactamente divisible entre $x+y$, ya que el segundo factor del último término de la ec.$(3)$ es nuestra hipótesis de inducción $(HI)$, con lo cual terminamos nuestra demostración.
Puede parecer arbitrario el arreglo que hicimos para darle forma a la ec.$(2)$, sin embargo no lo es en absoluto ya que si operamos el cociente implicado por la ec.$(H*)$ obtenemos, dependiendo de si tomamos uno, dos,tres o los términos que queramos en el cociente de la división:
a) Si tomamos el primer término del cociente obtenemos;
$ x^{2k} $
_____________________________________________
$x+y\mid$ $x^{2k+1}$ $+y^{2k+1}$
$-x^{2k+1}-x^{2k}y$
___________________________________________________
$-x^{2k}y$ $+y^{2k+1}$ .
Aplicando el algoritmo de la división a la última expresión tenemos:
$\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}$ = $x^{2k}-\frac{x^{2k}y-y^{2k+1}}{x+y}$
= $\frac{x^{2k}\left(x+y\right)-\left(x^{2k}y-y^{2k+1}\right)}{x+y}$
= $\frac{x^{2k+1}+x^{2k}y-x^{2k}y+y^{2k+1}}{x+y}$
= $\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}.$
b) Si tomamos los dos primeros términos del cociente nos queda:
$x^{2k}$ $-x^{2k-1}y$ _________________________________________________________________
$x+y$ $\mid$ $x^{2k+1}$ $+y^{2k+1}$
$-x^{2k+1}$ $-x^{2k}y$
__________________________________________________________
$-x^{2k}y$
$+x^{2k}y$ $+x^{2k-1}y^2$
__________________________________________
$+x^{2k-1}y^2$ $+y^{2k+1}$
y utilizando el algoritmo de la división, encontramos:
$\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}$ $=x^{2k}-x^{2k-1}y+\frac{x^{2k-1}y^2+y^{2k+1}}{x+y}$ $(4)$
$=\frac{\left(x^{2k}-x^{2k-1}y\right)(x+y)+x^{2k-1}y^2+y^{2k+1}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+1}-x^{2k}y+x^{2k}y-x^{2k-1}y^2+x^{2k-1}y^2+y^{2k+1}}{x+y}$ $(5)$
$=\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}.$
c) Si tomamos los tres primeros términos del cociente encontramos:
$x^{2k}-x^{2k-1}y+x^{2k-2}y^2$
_____________________________________________________
$x+y \mid x^{2k+1}$ $+ y^{2k+1}$
$-x^{2k+1}-x^{2k}y$
_________________
$-x^{2k}y$
$+x^{2k}y+x^{2k-1}y^2$
_____________________
$+x^{2k-1}y^2$
$-x^{2k-1}y^2-x^{2k-2}y^3$
____________________________________
$-x^{2k-2}y^3+ y^{2k+1}.$
Si hacemos lo mismo que en los dos casos anteriores llegamos a la expresión:
$\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}$ $=x^{2k}-x^{2k-1}y+x^{2k-2}y^2-\frac{x^{2k-3}y^3-y^{2k+1}}{x+y}$
$=\frac{\left(x^{2k}-x^{2k-1}y+x^{2k-2}y^2\right)(x+y)-x^{2k-3}y^3+y^{2k+1}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+1}-x^{2k}y+x^{2k-1}y^2+x^{2k}y-x^{2k-1}y^2+x^{2k-2}y^3-x^{2k-2}y^3+y^{2k+1}}{x+y}$
$=\frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}.$
Advertimos que el arreglo que hicimos para solucionar la última parte de nuestro problema de inducción fue comenzar con la ec.$(5)$ y terminar con la ec.$(4)$, ya que ésta última también se puede escribir en la forma
$x^{2k}-x^{2k-1} y+y^2 \ \frac{x^{2k-1}+y^{2k-1}}{x+y}.$
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