Inducción matemática. Ejemplo1. Segunda parte.

Concluimos nuestro ejercicio revisando la naturaleza del cociente
                                  $\frac{x^{2n+1}+y^{2n+1}}{x+y}.$
A partir de la ec. $(HI)$ tenemos que el cociente $\frac{x^{2k-1}+y^{2k-1}}{x+y}$ es una fracción entera, y que por lo tanto su residuo es cero. También sabemos que en la división de dos polinomios homogéneos en el que el grado del dividendo es $2k-1$ y el grado del divisor es $1$, el resultado  es un polinomio homogéneo de grado $2k-2$.
De acuerdo a lo anterior tenemos;


                                   $x^{2k-2}-x^{2k-3}y+x^{2k-4}y^2-$    $\cdots$    $-xy^{2k-3}+y^{2k-2}$
               _____________________________________________________________________
$x+y \mid  x^{2k-1}$                                                                                                 $ +y^{2k-1}$
              $-x{2k-1}-x^{2k-2}y$
             ___________________
                             $-x^{2k-2}y$
                             $+x^{2k-2}y+x^{2k-3}y^2$
                            ________________________
                                                 $+x^{2k-3}y^2$
                                                 $-x^{2k-3}y^2-x^{2k-4}y^3$
                                                ________________________
                                                                         $x^{2k-4}y^3  \ldots$
                                                                                                  _________________________
                                                                                                    $\ldots +xy^{2k-2}+y^{2k-1}$
                                                                                                    $\ldots -xy^{2k-2}-y^{2k-1}$
                                                                                                    ________________________
                                                                                                                    $0$            $0$.

                                                                         
Al sustituir este resultado en la ec.$(H**)$ nos queda:


$ \frac{x^{2k+1}+y^{2k+1}}{x+y}$  $=x^{2k}-x^{2k-1} y+y^2  \frac{x^{2k-1}+y^{2k-1}}{x+y}$                                    
                               $=x^{2k}-x^{2k-1} y+y^2\left(x^{2k-2}-x^{2k-3}y+x^{2k-4}y^2-\cdots-xy^{2k-3}+y^{2k-2}\right)$
                               $=x^{2k}-x^{2k-1} y+x^{2k-2}y^2-x^{2k-3}y^3+x^{2k-4}y^4-\cdots-xy^{2k-1}+y^{2k}$                 $(HK).$

 Como $k \ \in \mathbb{N} $, la ec.$(HK)$ toma la forma

   $\frac{x^{2n+1}+y^{2n+1}}{x+y}=x^{2n}-x^{2n-1}y+x^{2n-2}y^2-\cdots-xy^{2n-1}+y^{2n},\  \  \forall{n} \in \mathbb{N}.$     $ (HK(n))$