Contra-ejemplos de inducción matemática.

Hay que recordar que para la validez  de una prueba mediante inducción matemática, de deben cumplir necesariamente las dos primeras condiciones:

• $P(1)$ verdadera.
• $P(k)$ verdadera.

Consideremos los siguientes ejemplos:

a)Consideremos la relación

         $1+3+5+\cdots+\left(2n-1\right)=n.$
Entonces, para:

        $n=1$, tenemos  $2\cdot1-1=2-1=1$                $\checkmark$
        $n=k$, tenemos   $1+3+5+\cdots+\left(2k-1\right)=k.$               $\checkmark$
        $n=k^*$, tenemos  $1+3+5+\cdots+\left(2k-1\right)+\left(2\cdot k^*-1\right)=k+\left(2 \cdot \left(k+1\right)-1\right)$
                                               $=k+2k+2-1$
                                               $=3k+1.$
Que no es el resultado $k^*$ que esperábamos.
   $\therefore$ la proposición no es válida.

b)Consideremos ahora la relación
            $1+3+5+\cdots+ \left(2n-1\right)=n^2+1.$
Entonces, para:

    $n=1$, tenemos $3\cdot 1-1=3-1=2$ que es diferente a $1^2+1=1+1=1.$

   $\therefore$ la proposición no es válida, y no valdría la pena continuar.
Sin embargo, para efectos de ejemplificación, revisemos la proposición para $n=k^*$, suponiendo que se cumple para $n=k$.
 Nos queda:

 $1+3+5+\cdots+ \left(2k-1\right)+\left(2k^*-1\right)=k^2+1+\left(2\cdot \left(k+1\right)-1 \right)$
                                                                              $=k^2+1+2k+2-1$
                                                                              $=\left(k^2+2k+1\right)+1$
                                                                              $=\left(k+1\right)^2+1$
                                                                              $=\left(k^*\right)^{2}+1.$
Que sí cumple con lo esperado para $n=k^*$, pero como la prueba falló para $n=1$, encontramos que la proposición no es válida.



c) ¿Representa la expresión $n^2-n+11$ un número primo $\forall  n \in \mathbb{N}$?

Solución, para:
   $n=1,$ tenemos  $1^2-1+11=1-1+11=11$,                $\checkmark$
   $n=2,$ tenemos  $2^2-2+11=4-2+11=13$,                $\checkmark$
   $n=3,$ tenemos  $3^2-3+11=9-3+11=17$,                $\checkmark$
   $n=4,$ tenemos  $4^2-4+11=16-4+11=23$,                $\checkmark$
   $n=5,$ tenemos  $5^2-5+11=25-5+11=31$,                $\checkmark$
   $n=6,$ tenemos  $6^2-6+11=36-6+11=41$,                $\checkmark$
   $n=7,$ tenemos  $7^2-7+11=49-7+11=53$,                $\checkmark$
   $n=8,$ tenemos  $8^2-8+11=64-8+11=67$,                $\checkmark$
   $n=9,$ tenemos  $9^2-9+11=81-9+11=83$,                $\checkmark$
   $n=10,$ tenemos  $10^2-10+11=100-10+11=101$,                $\checkmark$
   $n=11,$ tenemos  $11^2-11+11=121=11\times11$,            ¡Que no es primo!

Por lo tanto: $n^2-n+11$  NO  es un número primo $\forall  n \in \mathbb{N}.$

Puede parecer extraño el porqué de revisar con tanto detenimiento este último ejemplo. Hay dos razones principales:

a) Fue sugerido por Leonard Euler, y
b) Siempre  se ha buscado una fórmula general para generar números primos, con resultados infructuosos hasta ahora.

Con estos contraejemplos cerramos por ahora nuestro estudio de inducción matemática.
En la próxima entrada comenzamos un tema nuevo.