C) El sentido de una desigualdad se altera si ambos miembros se multiplican por o se dividen entre un mismo número negativo.
Demostración:
C1) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.
Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.
Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=P\cdot q$,
de donde $a\cdot q-b\cdot q=P\cdot q$.
Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número negativo.
Es decir $a\cdot q-b\cdot q= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $aq<bq$.
$\therefore$ si $a>b$ y $q<0$, entonces $aq<bq$.
C2) Sean $a>b$ y $q$ un número negativo.
Dado que $a>b$, entonces $a-b=P$, donde $P$ es un número positivo.
Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{P}{q}$,
de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{P}{q}$.
Como $P$ es un número positivo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{P}{q}$ es un número negativo.
Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= N$, donde $N$ es un número negativo, y en consecuencia $\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.
$\therefore$ si $a>b$ y $q<0$, entonces$\frac{a}{q}<\frac{b}{q}$.
C3) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.
Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.
Entonces $\left(a-b\right)\cdot q=N\cdot q$,
de donde $a\cdot q-b\cdot q=N\cdot q$.
Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el producto $P\cdot q$ es un número positivo.
Es decir $a\cdot q-b\cdot q= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $aq>bq$.
$\therefore$ si $a<b$ y $q<0$, entonces $aq>bq$.
C4) Sean $a<b$ y $q$ un número negativo.
Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.
Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{N}{q}$,
de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{N}{q}$.
Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{N}{q}$ es un número positivo.
Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.
$\therefore$ si $a<b$ y $q<0$, entonces$\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.
Dado que $a<b$, entonces $a-b=N$, donde $N$ es un número negativo.
Entonces $\frac{a-b}{q}=\frac{N}{q}$,
de donde $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}=\frac{N}{q}$.
Como $N$ es un número negativo y $q$ es un número negativo, el cociente $\frac{N}{q}$ es un número positivo.
Es decir $\frac{a}{q}-\frac{b}{q}= P$, donde $P$ es un número positivo, y en consecuencia $\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.
$\therefore$ si $a<b$ y $q<0$, entonces$\frac{a}{q}>\frac{b}{q}$.
Ejemplos:
a) $3x-1>6x+8$
Solución:
$3x-6x>8+1$
$-3x>9$.
Dividiendo ambos miembros entre $-3$ y aplicando las propiedades que acabamos de demostrar, tenemos,
$\frac{-3x}{-3}<\frac{9}{-3}$.
$\therefore x<-3$.
b)$ -7-12x<5x+10$
Solución:
$-12x-5x<10+7$,
$-17x<17$,
Dividiendo ambos miembros entre $-17$, tenemos
$x>\frac{17}{-17}.$
$\therefore x>-1$.
c)$\frac{2x-4}{-3}>6x+1$
Solución:
$ \left(\frac{2x-4}{-3}\right)(-3)<\left(6x+1\right)(-3),$
$2x-4<-18x-3$,
$20x<1$,
$\therefore x<\frac{1}{20}.$
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